Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE． 
（1）求證：AC平分∠DAB； 
（2）求證：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC=30°，求證：以BC，BE，AC邊的三角形為直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，可證得OC∥AD，結(jié)合條件可證得∠DAC=∠CAB，可證得結(jié)論；
（2）由條件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，結(jié)合外角性質(zhì)可得∠PCF=∠PFC，可證得結(jié)論；
（3）連接AE，可知BE=AE，根據(jù)條件可得到BE與AB的關(guān)系，以及BC、AC和AB的關(guān)系，再結(jié)合勾股定理的逆定理可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖1，連接OC，

∵DP是⊙O的切線，
∴OC⊥DP，
又∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）∵PD是⊙O的切線，
∴∠BCP=∠CAB，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAF+∠ACF=∠BCF+∠PCB，
即∠CFP=∠PCF，
∴PC=PF，即△PCB為等腰三角形；
（2）如圖2，連接AE，

∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴AE=BE，
又∵AB為直徑，
∴BE=

2

2

AB，
∵∠CEB=30°，
∴∠CAB=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=

1

2

AB，AC=

3

2

AB，
∴BC²+BE²=

3

4

AB²=AC²，
∴以BC，BE，AC邊的三角形為直角三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查切線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及勾股定理的逆定理，在（1）中根據(jù)平行得到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意弦切角定理的應(yīng)用，在（3）中用AB分別表示出BE、BC、AC是解題的關(guān)鍵．