【題目】如圖,四邊形OMTN中,OM=ON,TM=TN,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形.

(1)探究箏形對角線之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在箏形ABCD中,已知AB=AD=10,BC=CD,BC>AB,BD、AC為對角線,BD=16.
①若∠ABC=90°,求AC的長;
②過點B作BF⊥CD于F,BF交AC于點E,連接DE.當四邊形ABED為菱形時,求點F到AB的距離.

【答案】
(1)

解:如圖1,連接MN、OT交于點A,

MN⊥OT,理由是:

∵OM=ON,TM=TN,OT=OT,

∴△OMT≌△ONT,

∴∠MOT=∠NOT,

∵OM=ON,

∴MN⊥OT


(2)

解:①如圖2所示,

∵四邊形ABCD為箏形,

∴AC⊥BD,

∵AB=AD,

∴OB=OD= BD= ×16=8,

由勾股定理得:AO= =6,

設(shè)OC=x,

∵∠ABC=90°,

∴BC2=AC2﹣AB2,BC2=OC2+OB2,

∴82+x2=(6+x)2﹣102,

解得:x= ,

∴AC=OA+OC=6+ =

②如圖3所示:

∵四邊形ABED為菱形,

∴BE=AD=10,EM=AM=6,

∵∠FBD=∠FBD,∠BMC=∠BFD=90°,

∴△BEM∽△BDF,

,

,

∴DF=9.6,

在Rt△DEF中,EF= =2.8,

∴BF=2.8+10=12.8,

∵∠BGF=∠EFD=90°,∠GBF=∠FED,

∴△BGF∽△EFD,

∴FG= = =12.288.

則點F到AB的距離為12.288


【解析】(1)如圖1,證明△OMT≌△ONT,得∠MOT=∠NOT,再根據(jù)等腰△OMN三線合一的性質(zhì)得MN⊥OT;(2)①如圖2,先根據(jù)勾股定理求AO的長,再利用勾股定理列方程求OC的長,則AC=OC+AO,代入得出結(jié)論;②如圖3,先證明△BEM∽△BDF,可得 ,求出DF=9.6;再通過勾股定理求EF的長,則得BF的長,通過證明△BGF∽△EFD,得 ,所以可以求FG的長,即點F到AB的距離.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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