Question

如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點E、F（點F在點E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點G．

（1）當圓C經(jīng)過點A時，求CP的長；

（2）連結(jié)AP，當AP//CE時，求弦EF的長；

（3）當△AGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長．

圖1                           備用圖

Answer 1

（1）如圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，
當點A在⊙C上時，點E和點A重合，過點A作AH⊥BC于H，

∴BH=AB cosB=4，
∴AH=3，CH=4，············1分
∴AC===5，
∴此時CP=r=5；···············2分

（2）如圖2，若AP∥CE，APCE為平行四邊形，
∵CE=CP，
∴四邊形APCE是菱形，···········3分
連接AC、EP，則AC⊥EP，
∴AM=CM= ，·········4分
由（1）知，AB=AC，則∠ACB=∠B，
∴CP=CE= ，··········5分
∴EF=2  ···········6分

（3）如圖3：過點C作CN⊥AD于點N，過點A作AQ⊥BC于點Q，

∵cosB=  

∴∠B＜45°，············7分
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，············8分
∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，
又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，
∴當∠AEG=∠GAE時，A、E、G重合，則△AGE不存在．
即∠AEG≠∠GAE
∴只能∠AGE=∠AEG，············10分
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴  ··············11分

即······················12分

解得，AE=3，EN=AN-AE=1

∴CE=················13分