Question

請閱讀下列材料：
實際問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑為5厘米，BC是底面直徑，高AB為5厘米，求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線，小明設計了兩條路線．
解決方案：
路線1：側面展開圖中的線段AC，如圖（2）所示，設路線l的長度為l₁：則l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC，如圖（1）所示．
設路線2的長度為l₂：則l₂=AB+BC=5+10=15，l₂²=225．
為比較l₁，l₂的大小，我們采用如下方法：
∵l₁²-l₂²=25+25π²-225=25π²-200=25（π²-8）＞0．
∴l(xiāng)₁²＞l₂²，所以l₁＞l₂，
小明認為應選擇路線2較短．
（1）問題類比：
小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1厘米，高AB為5厘米．”繼續(xù)按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：
路線1：l₁²=AC²=

 

；
路線2：l₂=AB+BC=

 

，l₂²=

 

．
∵l₁²

 

l₂²，∴l(xiāng)₁

 

l₂（填“＞”或“＜”）
∴小亮認為應選擇路線

 

（填1或2）較短．
（2）問題拓展：
請你幫小明和小亮繼續(xù)研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r厘米時，高為h厘米，螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C，
路線1：l₁²=

 

；
路線2：l₂²=

 

．
當

r

h

滿足什么條件時，選擇的路2最短？請說明理由．
（3）問題解決：
如圖（3）為2個相同的圓柱緊密排列在一起，高為5厘米，當圓柱的底面半徑r（厘米）=

 

時，螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的兩條線段相等（注：按上面小明所設計的兩條路線方式）．

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題

專題：

分析：（1）由閱讀材料，可知路線1：l₁²=AC²=AB²+BC²=高²+底面周長一半²；路線2：l₂²=（高線AB+底面直徑BC）²；將數據代入即可求出l₁²、l₂²的值，再運用差比法即可得出l₁＜l₂；
（2）先根據閱讀材料用含h、r的代數式分別表示l₁²、l₂²，再由l₁²＞l₂²列出關于h、r的不等式，解不等式即可求解；
（3）先根據閱讀材料將h=5代入，用含r的代數式分別表示l₁²、l₂²，再由l₁²=l₂²列出關于r的方程，解方程即可．

解答：解：（1）如圖（2）．
∵圓柱的底面半徑為1厘米，高AB為5厘米，
∴路線1：l₁²=AC²=AB²+BC²=25+π²；
路線2：l₂=AB+BC=5+2=7，l₂²=（AB+BC）²=49．
∵l₁²-l₂²=25+π²-49=π²-24＜0，
∴l(xiāng)₁²＜l₂²，
∴l(xiāng)₁＜l₂，
∴選擇路線1較短；

（2）如圖（2）．
∵圓柱的底面半徑為r厘米，高為h厘米，
∴路線1：l₁²=AC²=AB²+BC²=h²+（πr）²=h²+π²r²，
路線2：l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
∴l(xiāng)₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
∵r恒大于0，
∴當（π²-4）r-4h＞0，即

r

h

＞

4

π2-4

時，l₁²＞l₂²，即此時選擇的路2最短；

（3）如圖（3），圓柱的高為5厘米．
l₁²=AC²=AB²+BC²=25+（2πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（5+4r）²，
由題意，得25+（2πr）²=（5+4r）²，
解得r=

10

π2-4

．
即當圓柱的底面半徑r為

10

π2-4

厘米時，螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的兩條線段相等．
故答案為：25+π²，7，49，＜，＜1；h²+π²r²，（h+2r）²；

10

π2-4

．

點評：本題考查了平面展開-最短路徑問題，比較兩個式子的大小，通常利用差比法，這里讓這兩個式子的平方相減．同時考查了學生的閱讀理解能力，知識的遷移能力及分析問題解決問題的能力．