Question

如圖，△ABC是等邊三角形，P是AB上一點，Q是BC延長線上一點，AP=CQ．聯(lián)結(jié)PQ交AC于D點．過P作PE∥BC，交AC于E點．
（1）說明DE=DC的理由；
（2）過點P作PF⊥AC于F，說明DF=

1

2

AC的理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得EF與AE的關(guān)系，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得DE=

1

2

CE，EF與AE的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答：（1）解：∵PE∥BC，
∴∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°．
∴∠A=∠AEP．
∴AP=PE．
又∵AP=CQ，
∴PE=CQ．
在△EDP和△CDQ中

∠EDP=∠CDQ ∠EPD=∠O PE=PQ

，
∴△EDP≌△CDQ（AAS），
∴DE=DC；
（2）∵AP=PE，PF⊥AC，
∴EF=

1

2

AE．
∵DE=DC，且DE+DC=CE，
∴DE=

1

2

CE．
∴DF=EF+DE
=

1

2

AE+

1

2

CE
=

1

2

（AE+CE）
=

1

2

AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段中點的性質(zhì)．