Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．設(shè)線段的長(zhǎng)為．

（1）用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的值．

（3）設(shè)與矩形重疊部分圖形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）連結(jié)、，當(dāng)與垂直或平行時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）的值是或．

【解析】

（1）先根據(jù)平行線分線段成比例定理可得：，所以表示CE=2x，AE=4-2x，同理得EF的長(zhǎng)，證明四邊形CEFG為矩形，可得CG=EF=2-x，分P在G的左側(cè)和右側(cè)分別計(jì)算PG的長(zhǎng)；

（2）先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行可得四邊形EPBF是平行四邊形，當(dāng)EF=EP時(shí)，列方程解出即可；

（3）先計(jì)算當(dāng)P與G重合時(shí)，EF=CP，x=1，分兩種情況：

①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，②當(dāng)1＜x＜2時(shí)，分別根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；

（4）當(dāng)PF⊥EG時(shí)，△PFG∽△EGC，列比例式得方程解出即可；

當(dāng)PF∥EG時(shí)，四邊形GEFP是平行四邊形，根據(jù)EF=GP，列方程解出即可．

解：（1）如圖1，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴四邊形為矩形，

∴，

∴，

或；

（2）∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

當(dāng)時(shí)，即，

；

（3）當(dāng)與重合時(shí)，如圖2，，

即，

，

分兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，如圖1，；

②當(dāng)時(shí)，如圖3，交于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（4）當(dāng)時(shí)，如圖4，

∵，，

∴，

∴，即，

解得：，（舍去），

當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，

∴，即，

∴．

綜上，的值是或．