Question

如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠BPC=60°，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）求證：△ADP∽△BDA；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若AD=2，PD=1，求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2） PA+PB=PC，證明詳見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先作⊙O的直徑AE，連接PE，利用切線的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠PAD=∠PBA進(jìn)而得出答案；

（2）首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進(jìn)而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；

（3）利用△ADP∽△BDA，得出，求出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△ADP∽△CAP，則，則AP²=CP•PD求出AP的長(zhǎng)，即可得出答案．

（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==，

∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，

∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，

∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，

∴AP²=CP•PD，∴AP²=（3+AP）•1，

解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；圓周角定理；全等三角形的判定和性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)．