Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+m．

（1）如圖，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，求直線AB和二次函數(shù)圖象的解析式；

（2）在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A，B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)D，是否存在一點(diǎn)P使線段PD的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+6，y＝﹣x2+x+6；（2）存在P（，3）

【解析】

（1）把點(diǎn)A（3，0）代入y＝﹣x2+x+m得到﹣9+3+m＝0，求出m得到拋物線解析式和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求直線AB的解析式；

（2）設(shè)P（x，﹣2x+6），則D（x，﹣x2+x+6），那么PD＝（﹣x2+x+6）﹣（﹣2x+6）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)A（3，0）在拋物線y＝﹣x2+x+m上，

∴﹣9+3+m＝0，

∴m＝6，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+6，且B（0，6），

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

將A（3，0），B（0，6）代入y＝kx+b中，得，

解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+6；

（3）設(shè)P（x，﹣2x+6），則D（x，﹣x2+x+6），

∴PD＝（﹣x2+x+6）﹣（﹣2x+6）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，

∵a＝﹣1＜0，

∴當(dāng)x＝時(shí)，線段PD的長(zhǎng)有最大值為，

當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣2x+6＝3，

∴P（，3）．