【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交于點B.

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標(biāo);

(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點,求使BPC為直角三角形的點P的坐標(biāo).

【答案】

【解析】解:(1)依題意得:,

解之得:,

拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3

對稱軸為x=﹣1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),

把B(﹣3,0)、C(0,3)分別代入直線y=mx+n,

,

解之得:,

直線y=mx+n的解析式為y=x+3;

(2)設(shè)直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M,則此時MA+MC的值最。

把x=﹣1代入直線y=x+3得,y=2,

M(﹣1,2),

即當(dāng)點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為(﹣1,2);

(3)設(shè)P(﹣1,t),

B(﹣3,0),C(0,3),

BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,

①若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;

②若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,

③若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1=,t2=

綜上所述P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1, 或(﹣1,).

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