Question

（本題滿分12分）如圖，已知l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切，⊙O的半徑為1cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1，l2重合，AB=cm，AD=2cm，若⊙O與矩形ABCD沿l1同時向右移動，⊙O的移動速度為2cm/s，矩形ABCD的移動速度為3cm/s，設移動時間為t（s）.

（1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為 °；

（2）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達⊙O1的位置，矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置，此時點O1，A1，C1恰好在同一直線上，求圓心O移動的距離（即OO1的長）；

（3）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設該距離為d（cm），當d＜1時，求t的取值范圍（解答時可以利用備用圖畫出相關示意圖）．

 

Answer 1

（1）105°；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用切線的性質以及銳角三角函數(shù)關系分別求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，進而得出答案；

（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣1=t﹣1，求出t的值，進而得出OO1=2t得出答案即可；

（3）①當直線AC與⊙O第一次相切時，設移動時間為t1，②當直線AC與⊙O第二次相切時，設移動時間為t2，分別求出即可．

試題解析：（1）∵l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，

∵AB=cm，AD=4cm，∴CD=cm，AD=4cm，∴tan∠DAC=，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度數(shù)為：∠OAD+∠DAC=105°，

故答案為：105；

（2）如圖位置二，當O1，A1，C1恰好在同一直線上時，設⊙O1與l1的切點為E，

連接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，

在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，

在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E=，

∵A1E=AA1﹣OO1﹣1=t﹣1，∴t﹣1=，∴t=，∴OO1=2t=；

（3）①當直線AC與⊙O第一次相切時，設移動時間為t1，

∴， ∴t1=1﹣，

②當直線AC與⊙O第二次相切時，設移動時間為t2，，解得：，

∵d＜1時，對角線AC所在直線與⊙O相交，∴t的取值范圍是：．

考點：圓的綜合題．