Question

（本題滿分10分）

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D是BC上一定點.動點P從C出發(fā)，以2cm/s的速度沿C→A→B方向運(yùn)動，動點Q從D出發(fā)，以1cm/s的速度沿D→B方向運(yùn)動.點P出發(fā)5 s后，點Q才開始出發(fā)，且當(dāng)一個點達(dá)到B時，另一個點隨之停止．圖2是當(dāng)時△BPQ的面積S（ cm2）與點P的運(yùn)動時間t（s）的函數(shù)圖象.

（1）CD = ， ；

（2）當(dāng)點P在邊AB上時，t為何值時，使得△BPQ與△ABC為相似？

（3）運(yùn)動過程中，求出當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時t的值.

 

Answer 1

（1）CD=2，a=；（2）4.25秒或6秒；（3）5秒或秒．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到當(dāng)點P運(yùn)動到點A時，△BPQ的面積為18，利用三角形面積公式可計算出BD=6，則CD=2，當(dāng)t=5s時，AP=4，點Q在D點，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計算出AB=10，再證明△BPH∽△BAC，利用相似比計算出PH，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△PBQ，即a=S△PBQ；

（2）分類討論：當(dāng)3＜t≤5，點Q在D點，BP=16﹣2t，若PD⊥BC得到△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當(dāng)5＜t≤8，DQ=t﹣5，BQ=11﹣t，BP=16﹣2t，當(dāng)∠PQB=90°時，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當(dāng)∠BPQ=90°時，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；

（3）PB=16﹣2t，BQ=11﹣t，分類討論：當(dāng)BP=BQ，則16﹣2t=11﹣t，解方程得t=5；當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得則BM=BQ=，再證明△BPM∽△BAC，利用相似比得t值．

試題解析：（1）當(dāng)點P運(yùn)動到點A時，△BPQ的面積為18，∴•6BD=18，解得BD=6，

∴CD=BC﹣BD=2，

當(dāng)t=5s時，AP=2×5﹣6=4，點Q在D點，點P在AB上如圖①，作PH⊥BC于H，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，

∵PH∥AC，∴△BPH∽△BAC，∴PH：AC=BP：BA，即PH：6=(10－4)：10，解得PH=，

∴S△PBQ=，即；故答案為：2，；

（2）點P在邊AB上，

當(dāng)3＜t≤5，點Q在D點，BP=16﹣2t，

若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，∴BP：BA=BD：BC，即，解得；

當(dāng)5＜t≤8，DQ=t﹣5，則BQ=8﹣2﹣（t﹣5）=11﹣t，BP=16﹣2t，

當(dāng)∠PQB=90°時，△BPQ∽△BAC，如圖②，

∵△BPQ∽△BAC，∴BP：BA=BQ：BC，即，解得，不合題意舍去；

當(dāng)∠BPQ=90°時，△BPQ∽△BAC，如圖③，

∵△BPQ∽△BCA，∴BP：BC=BQ：BA，即，解得，

綜上所述，當(dāng)或時，△BPQ與△ABC為相似；

（3）PB=16﹣2t，BQ=11﹣t，

當(dāng)BP=BQ，則16﹣2t=11﹣t，解得t=5；

當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，如圖④，則BM=BQ=，

∵PM∥AC，∴△BPM∽△BAC，∴BP：BA=BM：BC，即，解得，

綜上所述，當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時t的值為5或．

考點：1．相似形綜合題；2．動點問題的函數(shù)圖象；3．勾股定理的應(yīng)用．