【題目】如圖,直線m⊥n,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是m、n上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直角邊AC交直線n于點(diǎn)D,斜邊BC交直線m于點(diǎn)E.
(1)如圖(1)求證:∠DAO=∠ABO;
(2)如圖(2),當(dāng)?shù)妊?/span>Rt△ABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí),連接DE,求證:∠ADB=∠CDE;
(3)如圖(3),分別以OB、AB為直角邊作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC,連結(jié)CD交直線n于點(diǎn)P,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)根據(jù)題意可得∠ABO+∠BAO=90°,∠DAO+∠BAO=90°,利用同角的余角相等可得結(jié)論;
(2)作CG⊥AC交m與點(diǎn)G,首先利用ASA證明△ADB≌△CGA,可得AD=CG,進(jìn)而得到CG=CD,然后證明△DCE≌△GCE,可得∠CDE=∠CGE,等量代換即可得到結(jié)論;
(3)作CF⊥n于點(diǎn)F,根據(jù)“一線三等角”模型易證△ABO≌△BCF,可得OB=FC,AO=BF,然后結(jié)合△BOD是等腰直角三角形證明△DBP≌△CFP,得到BP=FP,最后利用三角形面積公式計(jì)算化簡(jiǎn)即可.
解:(1)∵直線m⊥n,
∴∠AOD=∠AOB=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAO+∠BAO=90°,
∴∠DAO=∠ABO;
(2)作CG⊥AC交m與點(diǎn)G,則∠ACG=90°,
在△ADB和△CGA中,,
∴△ADB≌△CGA(ASA),
∴AD=CG,
∵AD=CD,
∴CG=CD,
∵∠ACB=45°,
∴∠GCE=45°,
∴∠ACB=∠GCE,
又∵CE=CE,
∴△DCE≌△GCE(SAS),
∴∠CDE=∠CGE,
∵△ADB≌△CGA,
∵∠CGE=∠ADB,
∴∠ADB=∠CDE;
(3)作CF⊥n于點(diǎn)F,則∠CFB=90°,
∴∠CBF+∠BCF=90°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ABO+∠CBF=90°,
∴∠BCF=∠ABO,
在△ABO和△BCF中,,
∴△ABO≌△BCF(AAS),
∴OB=FC,AO=BF,
∵△BOD是等腰直角三角形,
∴OB=BD,∠OBD=∠DBP=90°,
∴BD=FC,
在△DBP和△CFP中,,
∴△DBP≌△CFP(AAS),
∴BP=FP,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“每天鍛煉一小時(shí),健康生活一輩子”.為了選拔“陽(yáng)光大課間”領(lǐng)操員,學(xué)校組織初中三個(gè)年級(jí)推選出來(lái)的15名領(lǐng)操員進(jìn)行比賽,成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>
成績(jī)/分 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人數(shù)/人 | 2 | 5 | 4 | 4 |
(1)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 .
(2)已知獲得10分的選手中,七、八、九年級(jí)分別有1人、2人、1人,學(xué)校準(zhǔn)備從中隨機(jī)抽取兩人領(lǐng)操,求恰好抽到八年級(jí)兩名領(lǐng)操員的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)(a>0)圖象的頂點(diǎn)為D,其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1和3,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 2a﹣b=0
B. a+b+c>0
C. 3a﹣c=0
D. 當(dāng)a=時(shí),△ABD是等腰直角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市創(chuàng)建“綠色發(fā)展模范城市”,針對(duì)境內(nèi)長(zhǎng)江段兩種主要污染源:生活污水和沿江工廠污染物排放,分別用“生活污水集中處理”(下稱甲方案)和“沿江工廠轉(zhuǎn)型升級(jí)”(下稱乙方案)進(jìn)行治理,若江水污染指數(shù)記為Q,沿江工廠用乙方案進(jìn)行一次性治理(當(dāng)年完工),從當(dāng)年開始,所治理的每家工廠一年降低的Q值都以平均值n計(jì)算.第一年有40家工廠用乙方案治理,共使Q值降低了12.經(jīng)過(guò)三年治理,境內(nèi)長(zhǎng)江水質(zhì)明顯改善.
(1)求n的值;
(2)從第二年起,每年用乙方案新治理的工廠數(shù)量比上一年都增加相同的百分?jǐn)?shù)m,三年來(lái)用乙方案治理的工廠數(shù)量共190家,求m的值,并計(jì)算第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)量;
(3)該市生活污水用甲方案治理,從第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加個(gè)相同的數(shù)值a.在(2)的情況下,第二年,用乙方案所治理的工廠合計(jì)降低的Q值與當(dāng)年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,中,,于,平分,且于,與相交于點(diǎn)
(1)求證:; (2)求證:;
(3)取邊的中點(diǎn),連結(jié)、、,取的中點(diǎn)G,連結(jié),說(shuō)明GH與DE的位置關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四邊形DEFG為矩形,DE=2cm,EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線上,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止.設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間xs.能反映ycm2與xs之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)(﹣2a3)2(﹣5a3+1)
(2)(4x3y+6x2y2﹣xy3)÷xy
(3)
(4)(2x+3)(2x﹣3)﹣2(x﹣3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系.如圖,在平面上取定一點(diǎn)O稱為極點(diǎn);從點(diǎn)O出發(fā)引一條射線Ox稱為極軸;線段OP的長(zhǎng)度稱為極徑.點(diǎn)P的極坐標(biāo)就可以用線段OP的長(zhǎng)度以及從Ox轉(zhuǎn)動(dòng)到OP的角度(規(guī)定逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)角度為正)來(lái)確定,即P(3,60°)或P(3,﹣300°)或P(3,420°)等,則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的點(diǎn)Q的極坐標(biāo)表示不正確的是( )
A. Q(3,240°) B. Q(3,﹣120°) C. Q(3,600°) D. Q(3,﹣500°)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義:至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形.
【1】請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱;
【2】如圖,在中,點(diǎn)分別在上,設(shè)相交于點(diǎn),若,.請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與相等的角,并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形;
【3】在中,如果是不等于的銳角,點(diǎn)分別在上,且.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形,并證明你的結(jié)論.
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