【題目】如圖,已知直線y=﹣2x+4分別交x軸、y軸于點AB.拋物線過A、B兩點,點P是線段AB上一動點,過點PPCx軸于點C,交拋物線于點D

1)如圖1,設(shè)拋物線頂點為M,且M的坐標(biāo)是(),對稱軸交AB于點N

求拋物線的解析式;

是否存在點P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由;

2)是否存在這樣的點D,使得四邊形BOAD的面積最大?若存在,求出此時點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣2x2+2x+4;;不存在點P,使四邊形MNPD為菱形;;(2)存在,點D的坐標(biāo)是(1,4).

【解析】

1由一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求得點B的坐標(biāo),設(shè)拋物線解析式為ya,把點B的坐標(biāo)代入求得a的值即可;

不存在點P,使四邊形MNPD為菱形.設(shè)點P的坐標(biāo)是(m,﹣2m+4),則Dm,﹣2m2+2m+4),根據(jù)題意知PDMN,所以當(dāng)PDMN時,四邊形MNPD為平行四邊形,根據(jù)該等量關(guān)系列出方程﹣2m2+4m,通過解方程求得m的值,易得點N、P的坐標(biāo),然后推知PNMN是否成立即可;

2)設(shè)點D的坐標(biāo)是(n,﹣2n2+2n+4),Pn,﹣2n+4).根據(jù)S四邊形BOADSBOA+SABD4+SABD,則當(dāng)SABD取最大值時,S四邊形BOAD最大.根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)SABD=﹣2n12+2.由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

解:如圖1,

∵頂點M的坐標(biāo)是

∴設(shè)拋物線解析式為ya0).

∵直線y=﹣2x+4y軸于點B,

∴點B的坐標(biāo)是(0,4).

又∵點B在該拋物線上,

4,

解得a=﹣2

故該拋物線的解析式為:y=﹣2x2+2x+4;

不存在.理由如下:

∵拋物線y的對稱軸是直線x,且該直線與直線AB交于點N,

∴點N的坐標(biāo)是

設(shè)點P的坐標(biāo)是(m,﹣2m+4),則Dm,﹣2m2+2m+4),

PD=(﹣2m2+2m+4)﹣(﹣2m+4)=﹣2m2+4m

PDMN

當(dāng)PDMN時,四邊形MNPD是平行四邊形,即﹣2m2+4m

解得 m1(舍去),m2

此時P,1).

PN

PNMN,

∴平行四邊形MNPD不是菱形.

∴不存在點P,使四邊形MNPD為菱形;

2)存在,理由如下:

設(shè)點D的坐標(biāo)是(n,﹣2n2+2n+4),

∵點P在線段AB上且直線PDx軸,

Pn,﹣2n+4).

由圖可知S四邊形BOADSBOA+SABD.其中SBOAOBOA×4×24

則當(dāng)SABD取最大值時,S四邊形BOAD最大.

SABDyDyP)(xAxB

yDyP

=﹣2n2+2n+4﹣(﹣2n+4

=﹣2n2+4n

=﹣2n12+2

當(dāng)n1時,SABD取得最大值2,S四邊形BOAD有最大值.

此時點D的坐標(biāo)是(1,4).

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