如圖1,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)E在AB邊上(不與點(diǎn)A,B重合),點(diǎn)F在BC邊上(不與點(diǎn)B,C重合).
第一次操作:將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí),記為點(diǎn)G;
第二次操作:將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí),記為點(diǎn)H;依次操作下去…
(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過(guò)兩次操作后得到的,其形狀為 ,
(2)若經(jīng)過(guò)三次操作可得到四邊形EFGH.
①請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀為 ,此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是 ;
②以①中的結(jié)論為前提,設(shè)AE的長(zhǎng)為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍。
(1)等邊三角形;(2)正方形;AE=BF; =2(x-2)2+8,8≤y<16.
【解析】
試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì),易得△EFD是等邊三角形;利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出EF的長(zhǎng);
(2)①四邊形EFGH的四邊長(zhǎng)都相等,所以是正方形;利用三角形全等證明AE=BF;
②求面積y的表達(dá)式,這是一個(gè)二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值及y的取值范圍.
試題解析:(1)如題圖2,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EF=DF=DE,則△DEF為等邊三角形.
在Rt△ADE與Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)
∴AE=CF.
設(shè)AE=CF=x,則BE=BF=4-x
∴△BEF為等腰直角三角形.
∴EF=BF=(4-x).
∴DE=DF=EF=(4-x).
在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE2+AD2=DE2,即:x+42=[(4-x]2,
解得:x1=8-4,x2=8+4(舍去)
∴EF=(4-x)=4-4.
DEF的形狀為等邊三角形,EF的長(zhǎng)為4-4.
(2)①四邊形EFGH的形狀為正方形,此時(shí)AE=BF.理由如下:
依題意畫(huà)出圖形,如答圖1所示:
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,EF=FG=GH=HE,∴四邊形EFGH的形狀為正方形.
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.
∵∠3+∠4=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4.
在△AEH與△BFE中,
∴△AEH≌△BFE(ASA)
∴AE=BF.
②利用①中結(jié)論,易證△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均為全等三角形,
∴BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.
∴y=S正方形ABCD-4S△AEH=4×4-4×x(4-x)=2x2-8x+16.
∴y=2x2-8x+16(0<x<4)
∵y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,
∴當(dāng)x=2時(shí),y取得最小值8;當(dāng)x=0時(shí),y=16,
∴y的取值范圍為:8≤y<16.
考點(diǎn):幾何變換綜合題.
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