Question

如圖，已知拋物線y=2x2-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）寫出以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形面積；

（2）過(guò)點(diǎn)E（0，6）且與x軸平行的直線l1與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），以MN為一邊，拋物線上的任一點(diǎn)P為另一頂點(diǎn)做平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的面積為8時(shí)，求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)D（m，0）（其中m＞1）且與x軸垂直的直線l2上有一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在第一象限），使得以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似，求線段QD的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．

 

 

Answer 1

(1) 2；(2) P、N的坐標(biāo)見解析；（3）線段QD的長(zhǎng)為2m-2或．

【解析】

試題分析：（1）在二次函數(shù)的解析式y=2x2-2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0時(shí)，求出y=-2，得到OC=2，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；

（2）先將y=6代入y=2x2-2，求出x=±2，得到點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)，則MN=4，再由平行四邊形的面積公式得到MN邊上的高為2，則P點(diǎn)縱坐標(biāo)為8或4．分兩種情況討論：①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為8時(shí)，將y=8代入y=2x2-2，求出x的值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4時(shí)，將y=4代入y=2x2-2，求出x的值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況討論：①OB與BD邊是對(duì)應(yīng)邊，②OB與QD邊是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出QD的長(zhǎng)度即可．

試題解析：（1）∵y=2x2-2，

∴當(dāng)y=0時(shí)，2x2-2=0，x=±1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），AB=2，

又當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），OC=2，

∴S△ABC=AB•OC=×2×2=2；

（2）將y=6代入y=2x2-2，

得2x2-2=6，x=±2，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，6），MN=4．

∵平行四邊形的面積為8，

∴MN邊上的高為：8÷4=2，

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6±2．

①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6+2=8時(shí)，2x2-2=8，x=±，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，8）或（-，8）；

②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6-2=4時(shí)，2x2-2=4，x=±，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）或（-，4）；

（3）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），

∴OB=1，OC=2．

∵∠QDB=∠BOC=90°，

∴以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況：

①OB與BD邊是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△OBC∽△DBQ，

則，即，

解得DQ=2（m-1）=2m-2，

②OB與QD邊是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△OBC∽△DQB，

則，即，

解得DQ=．

綜上所述，線段QD的長(zhǎng)為2m-2或．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．