Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E為直線BC上一點．

（1）如圖1，當E在線段BC上，且DE＝AD時，求BE的長；

（2）如圖2，點E為BC延長長線上一點，若BD＝BE，連接DE，M為ED的中點，連接AM，CM，求證：AM⊥CM；

（3）如圖3，在（2）條件下，P，Q為AD邊上的兩個動點，且PQ＝5，連接PB、MQ、BM，求四邊形PBMQ的周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）BE=8﹣2；（2）證明見解析；（3） +5+3．

【解析】

（1）先求出DE＝AD＝4，最后用勾股定理即可得出結論；

（2）先判斷出∠BMD＝90°，再判斷出△ADM≌△BCM得出∠AMD＝∠BMC，即可得出結論；

（3）由于BM和PQ是定值，只要BP+QM最小，利用對稱確定出MG'就是BP+QM的最小值，最后利用勾股定理即可得出結論．

解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，

∴DE＝AD＝8，

在Rt△CDE中，CE＝，

∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2；

（2）如圖2，連接BM，

∵點M是DE的中點，

∴DM＝EM，

∵BD＝BE，

∴BM⊥DE，

∴∠BMD＝90°，

∵點M是Rt△CDE的斜邊的中點，

∴DM＝CM，

∴∠CDM＝∠DCM，

∴∠ADM＝∠BCM

在△ADM和△BCM中，

，

∴△ADM≌△BCM（SAS），

∴∠AMD＝∠BMC，

∴∠AMC＝∠AMB+∠BMC＝∠AMB+∠AMD＝∠BMD＝90°，

∴AM⊥CM；

（3）如圖3中，過點Q作QG∥BP交BC于G，作點G關于AD的對稱點G'，連接QG'，當點G'，Q，M在同一條線上時，QM+BP最小，而PQ和BM是定值，

∴此時，四邊形PBMQ周長最小，

∵QG∥PB，PQ∥BG，

∴四邊形BPQG是平行四邊形，

∴QG＝BP，BG＝PQ＝5，

∴CG＝3，如圖2，在Rt△BCD中，CD＝6，BC＝8，

∴BD＝10，

∴BE＝10，

∴BG＝BE﹣BG＝5，CE＝BE﹣BC＝2，

∴HM＝1+3＝4，HG＝CD＝3，

在Rt△MHG'中，HG'＝6+3＝9，HM＝4，

∴MG'＝，

在Rt△CDE中，DE＝，

∴ME＝，

在Rt△BME中，BM＝ ＝3，

∴四邊形PBMQ周長最小值為BP+PQ+MQ+BM＝QG+PQ+QM+BM＝MG'+PQ+PM＝ +5+3，