【題目】已知,菱形中,,、分別是邊和上的點,且.
(1)求證:
(2)如圖2,在延長線上,且,求證:
(3)如圖3,在(2)的條件下,,,是的中點,求的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)7
【解析】
(1)連接AC,如圖1,根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC,而∠B=60°,則可判定△ABC為等邊三角形,得到∠BAC=60°,AC=AB,易得∠ACF=60°,∠BAE=∠CAF,然后利用ASA可證明△AEB≌△AFC,即可解答;
(2)過點F作FH∥AB,交CB的延長線于點H,利用平行線的性質(zhì)求得△FHC是等邊三角形,得到CF=CH=FH,然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF,從而問題得解;
(3)過點B作BK∥FC,交HF于點K,根據(jù)兩組對邊分別平行求得四邊形KBAF是平行四邊形,從而求得,FK=16,過點A作AM⊥FH,然后利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求得MF=,,從而求得KM=13,然后利用勾股定理求解即可.
解:(1)連接AC,如圖1,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AB=BC,
∵∠B=60°,
∴△ABC為等邊三角形,
∴∠BAC=60°,AC=AB,
∴∠BAE+∠EAC=60°,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACP=60°,
∵∠EAP=60°,即∠EAC+∠CAP=60°,
∴∠BAE=∠CAP,
在△AEB和△APC中, ,
∴△AEB≌△APC,
∴BE=CF
∴;
(2)過點F作FH∥AB,交CB的延長線于點H
∵FH∥AB
∴∠H=∠CGH=60°
∴△FHC是等邊三角形
∴CF=CH=FH
又∵△ABC是等邊三角形
∴CA=CB
∴AF=BH
又∵FB=FE
∴∠FEB=∠FEB,即∠FBH=∠FEC
在△HBF和△CEF中
∴△HBF≌△CEF
∴BH=EC
∴AF=EC
(3)過點B作BK∥FC,交HF于點K,
∵BK∥FC,FH∥AB
∴四邊形KBAF是平行四邊形
∴KB=AF=EC=6,
∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16
過點A作AM⊥FH
由(2)可知,∠CFH=60°
∴在Rt△AMF中,∠MAF=30°
∴MF=,
∴KM=16-3=13
在Rt△AKM中,
∴AO=7.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是等邊三角形,D是BC邊上的一個動點點D不與B,C重合是以AD為邊的等邊三角形,過點F作BC的平行線交射線AC于點E,連接BF.
如圖1,求證:≌;
請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀,并說明理由;
若D點在BC邊的延長線上,如圖2,其它條件不變,請問中結(jié)論還成立嗎?如果成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地震救援隊探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象,已知廢墟一側(cè)地面上兩探測點A,B相距3米,探測線與地面的夾角分別是30°和60°(如圖),試確定生命所在點C的深度.(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為開展全科大閱讀活動,學(xué)校花費了3400元在書店購買了40套古典文學(xué)書籍和20套現(xiàn)代文學(xué)書籍,每套現(xiàn)代文學(xué)書籍比每套古典文學(xué)書籍多花20元.
(1)求每套古典文學(xué)習(xí)書籍和現(xiàn)代文學(xué)書籍分別是多少元?
(2)為滿足學(xué)生的閱讀需求,學(xué)校計劃用不超過2500元再次購買古典文學(xué)和現(xiàn)代文學(xué)書籍共40套,經(jīng)市場調(diào)查得知,每套古典文學(xué)書籍價格上浮了20%,每套現(xiàn)代文學(xué)書籍價格下調(diào)了10%,學(xué)校最多能購買多少套現(xiàn)代文學(xué)書籍?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二孩子政策的落實引起了全社會的關(guān)注,某校學(xué)生數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本校同學(xué)父母生育二孩子的態(tài)度,在學(xué)校抽取了部分同學(xué)對父母生育二孩子所持的態(tài)度進(jìn)行了問卷調(diào)查,調(diào)查分別為非常贊同、贊同、無所謂、不贊同等四種態(tài)度,現(xiàn)將調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果制成了如圖兩幅統(tǒng)計圖,請結(jié)合兩幅統(tǒng)計圖,回答下列問題:
(1)在這次問卷調(diào)查中一共抽取了__________名學(xué)生,a=________%;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)持“不贊同”態(tài)度的學(xué)生人數(shù)的百分比所占扇形的圓心角為__________度;
(4)若該校有3000名學(xué)生,請你估計該校學(xué)生對父母生育二孩子持“贊同”和“非常贊同”兩種態(tài)度的人數(shù)之和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC、BD相交于點O,DH⊥AB于點H,連接OH,∠CAD=35°,則∠HOB的度數(shù)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請認(rèn)真觀察如下圖形:
當(dāng)時,長方形分為2個直角三角形;
當(dāng)時,長方形分為8個直角三角形;
當(dāng)時,長方形分為18個直角三角形;
……
依此規(guī)律,第個圖形中,長方形被分成______個小直角三角形.
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【題目】問題再現(xiàn):
數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,借助這種思想方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀并且具有可操作性.初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式,很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋.
例如:利用圖形的幾何意義驗證完全平方公式.
將一個邊長為的正方形的邊長增加,形成兩個長方形和兩個正方形,如圖所示:這個圖形的面積可以表示成:
或
∴
這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式.
類比解決:
請你類比上述方法,利用圖形的幾何意義驗證平方差公式.
(要求畫出圖形并寫出推理過程)
問題提出:如何利用圖形幾何意義的方法證明?
如圖所示,表示1個1×1的正方形,即:,表示1個2×2的正方形,與恰好可以拼成1個2×2的正方形,因此:、、就可以表示2個2×2的正方形,即:而、、、恰好可以拼成一個的大正方形.
由此可得:.
嘗試解決:
請你類比上述推導(dǎo)過程,利用圖形的幾何意義確定:_______.(要求寫出結(jié)論并構(gòu)造圖形寫出推證過程).
問題拓廣:
請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究:_______.(直接寫出結(jié)論即可,不必寫出解題過程).
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