【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過B30),C0-3)兩點,點D為頂點.

1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);

2)點E在拋物線的對稱軸上,FBD上,求BE+EF的最小值;

3)點P是拋物線第四象限的點(不與B、C重合),連接PB,以PB為邊作正方形BPMN,當(dāng)點MN恰好落在對稱軸上時,求出對應(yīng)的P點的坐標(biāo)(結(jié)果保留根號).

【答案】1D1,-4);(2;(3

【解析】

(1)把BC點的坐標(biāo)代入拋物線方程,利用待定系數(shù)法,可以把方程中的未知數(shù)求解出來,從而得到拋物線的表達式,把解析式整理成頂點式,即可得到頂點D的坐標(biāo);

(2)利用對稱軸的性質(zhì),知道AE=BE,從而把BE+EF的長度轉(zhuǎn)換成AF的長度,求出BE+EF的最小值;

(3)利用全等三角形的性質(zhì),根據(jù)已知線段可求得相應(yīng)坐標(biāo).

解:(1)把B、C點的坐標(biāo)代入拋物線方程得到:

解得

∴表達式為

又∵,

所以頂點的坐標(biāo)為D1,-4),

2)如圖1,連接BD,過AAFBDF,交對稱軸于點E,

1

∵E點在拋物線的對稱軸上

AE=BE

BE+EF=AE+EF=AF

又因為兩點之間垂線段最短

所以所做的AF為所求的最小值

由三角形的面積公式可以得到 (h是三角形ABDAB為邊的高)

又由題意可知,

所以

因此:,

BE+EF的最小值為.

3)當(dāng)點N在對稱軸上時,如圖2,過點PPFOB于點F,

2

∵四邊形PBNM是正方形 ,

又∵,∴,

(AAS)

設(shè)點P的坐標(biāo)為(),則,整理得

解得:(舍去)

當(dāng)點M在對稱軸上時,如圖3,過點PPGOB于點G,過點PPFMD于點F,

同理可證:,∴

3

設(shè),代入得,

解得:(舍去)

當(dāng)時,,

綜上所述:對應(yīng)的P點的坐標(biāo)有

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