【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,-1),拋物線經(jīng)過點(diǎn)B,且與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線上,且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)M是平面內(nèi)一點(diǎn),將△AOB繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到△A'O'B',點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A'、O'、B'. 若△A'O'B'的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A’的橫坐標(biāo).
【答案】(1)n=2,;(2)p=,p有最大值;(3)點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為:或.
【解析】
(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線解析式可得m的值,再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線解析式可得n的值,然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可;
(2)令y=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo),從而得到OA、OB的長度,利用勾股定理列式求出AB的長,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根據(jù)矩形的周長公式表示出p,利用直線和拋物線的解析式表示DE的長,整理即可得到P與t的關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的最值問題解答;
(3)分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)點(diǎn)O’、B’在拋物線上時(shí),由O’B’=OB=1;②當(dāng)點(diǎn)A’、B’在拋物線上時(shí),由A’B’=AB=,分別求出點(diǎn)A’的橫坐標(biāo)即可.
(1)將B(0,-1)代入得:m=-1,
在中,當(dāng)y=0時(shí),x=,即A(,0),
∵過點(diǎn)C(4,n),得:n=2,即C(4,2),
將B(0,-1)、C(4,n),代入得:
,解得:,
即拋物線的解析式為:.
(2)由(1)知,OA=,OB=1,在Rt△OAB中,由勾股定理得:AB=,
∵DE∥y軸,
∴∠ABO=∠DEF,
∴sin∠DEF= sin∠ABO=,cos∠DEF=cos∠ABO=,
∴EF=DE·cos∠DEF=DE,DF=DE·cos∠DEF=DE,
∴p=2(DE+DF)=DE,
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,
∴D(t,),E(t,),
∴DE=-()=,
p=()
=,
∴當(dāng)t=2時(shí),p有最大值.
(3)由題意知,A’、O’橫坐標(biāo)相等,此二點(diǎn)不會(huì)同時(shí)在拋物線上,
①當(dāng)點(diǎn)O’、B’在拋物線上時(shí),由O’B’=OB=1,
拋物線的對(duì)稱軸:x=得,O’橫坐標(biāo)為-=,
即A’橫坐標(biāo)為:;
②當(dāng)點(diǎn)A’、B’在拋物線上時(shí),由A’B’=AB=,
設(shè)點(diǎn)A’(n,y),則B’(n+1,y-),
∴,解得:n=
即A’橫坐標(biāo)為:;
綜上所述,點(diǎn)A’的橫坐標(biāo)為:或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,在⊙O中,AB、CD是直徑,弦AE∥CD.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,直線EC與直線AB交于點(diǎn)F,點(diǎn)G在OD上,若FO=FG,求證:△CFG是等腰三角形;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BD,若AE+CD=BD,DG=4,求線段FC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 1,在矩形 ABCD 中,AB=8,AD=10,E 是 CD 邊上一點(diǎn),連接 AE,將矩形 ABCD 沿 AE 折疊,頂點(diǎn) D 恰好落在 BC 邊上點(diǎn) F 處,延長 AE 交 BC 的延長線于點(diǎn)G.
(1)求線段 CE 的長;
(2)如圖 2,M,N 分別是線段 AG,DG 上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合),且∠DMN=∠DAM, 設(shè) DN=x.
①求證四邊形 AFGD 為菱形;
②是否存在這樣的點(diǎn) N,使△DMN 是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出 x 的值;若不存在, 請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 (a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①4ac<b2;
②方程 的兩個(gè)根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是﹣1≤x<3
⑤當(dāng)x<0時(shí),y隨x增大而增大
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線經(jīng)過A,B,C三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式。
(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx﹣與拋物線y=ax2+bx+交于點(diǎn)A、C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣8.
(1)請(qǐng)直接寫出直線和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合),作DE⊥AC于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m.求DE的長關(guān)于m的函數(shù)解析式,并寫出DE長的最大值;
(3)平移△AOB,使平移后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)在拋物線上,請(qǐng)直接寫出平移后的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀與計(jì)算,請(qǐng)閱讀以下材料,并完成相應(yīng)的問題.
角平分線分線段成比例定理,如圖1,在△ABC中,AD平分∠BAC,則=.下面是這個(gè)定理的部分證明過程.
證明:如圖2,過C作CE∥DA.交BA的延長線于E.…
任務(wù):(1)請(qǐng)按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分;
(2)填空:如圖3,已知Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,AD平分∠BAC,則△ABD的周長是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為8,點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一點(diǎn),連接BE,CE,且∠ABE=∠BCE,點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),連接PD,PE,則PD+PE的長度最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義:至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形.
(1)如圖,在中,點(diǎn),分別在,上,設(shè),相交于點(diǎn),若,.請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與相等的角,并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形?
(2)在中,如果是不等于的銳角,點(diǎn),分別在,上,且.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形,并證明你的結(jié)論.
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