Question

如圖，在x軸的正半軸上依次間隔相等的距離取點(diǎn)A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n，分別過這些點(diǎn)做x軸的垂線與反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象相交于點(diǎn)P₁，P₂，P₃，P₄，…P_n，再分別過P₂，P₃，P₄，…P_n作P₂B₁⊥A₁P₁，P₃B₂⊥A₂P₂，P₄B₃⊥A₃P₃，…，P_nB_n-1⊥A_n-1P_n-1，垂足分別為B₁，B₂，B₃，B₄，…，B_n-1，連接P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_n-1P_n，得到一組Rt△P₁B₁P₂，Rt△P₂B₂P₃，Rt△P₃B₃P₄，…，Rt△P_n-1B_n-1P_n，則Rt△P_n-1B_n-1P_n的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

專題：壓軸題,規(guī)律型

分析：根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式得到Rt△P₁B₁P₂的面積=

1

2

×a×（

1

a

-

1

2a

），Rt△P₂B₂P₃的面積=

1

2

×a×（

1

2a

-

1

3a

），Rt△P₃B₃P₄的面積=

1

2

×a×（

1

3a

-

1

4a

），由此得出△P_n-1B_n-1P_n的面積=

1

2

×a×[

1

(n-1)a

-

1

na

]，化簡即可．

解答：解：設(shè)OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-2A_n-1=a，
∵x=a時(shí)，y=

1

a

，∴P₁的坐標(biāo)為（a，

1

a

），
∵x=2a時(shí)，y=2×

1

a

，∴P₂的坐標(biāo)為（2a，

1

2a

），
∴Rt△P₁B₁P₂的面積=

1

2

×a×（

1

a

-

1

2a

），
Rt△P₂B₂P₃的面積=

1

2

×a×（

1

2a

-

1

3a

），
Rt△P₃B₃P₄的面積=

1

2

×a×（

1

3a

-

1

4a

），
…，
∴△P_n-1B_n-1P_n的面積=

1

2

×a×[

1

(n-1)a

-

1

na

]=

1

2

×1×（

1

n-1

-

1

n

）=

1

2n(n-1)

．
故答案為：

1

2n(n-1)

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式，有一定難度．