Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，延長AB到點E,連接EC,使得∠BCE=∠BAC

(1)求證：EC是⊙O的切線；

（2）過點A作AD⊥EC的延長線于點D,若AD=5，DE=12，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） .

【解析】

（1）連結(jié)OC，根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到EC是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ADE中利用勾股定理計算出AE=13，則OE=13-r，OC=r，證明△EOC∽△EAD，利用相似比得到，即，然后解方程即可得到圓的半徑．

（1）證明：連結(jié)OC，如圖，

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠BAC，

又∵∠BCE=∠BAC，

∴∠BCE=∠OCA，

∴∠BCE+∠BCO=90°，

∴OC⊥EC，

∴EC是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，

在Rt△ADE中，AD=5，ED=12，AE==13，

∴OE=13-r，OC=r

∵OC⊥EC，

∵AD⊥EC，

∴OC∥AD，

∴△EOC∽△EAD，

∴，即，

∴r=，

即⊙O的半徑為．