Question

已知一次函數(shù)y=2kx-3k+

1

2

（k≠0）．
（1）不論k為何值時，函數(shù)圖象過一定點，求定點的坐標；
（2）設（1）中的定點為P，C為y軸正半軸上一點，∠CPO=45°，求S_△OPC；
（3）如圖，若k=-

1

4

，函數(shù)圖象與x軸，y軸分別交于A、B兩點，在直線AB上是否存在點Q，使

QA

QB

=

2

5

？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將一次函數(shù)y=2kx-3k+

1

2

（k≠0），整理為2kx-y=3k-

1

2

，從而求得定點坐標．
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得PE=CE，然后利用△COE∽△OPD求得CE的長，再根據(jù)面積公式即可求得．
（3）根據(jù)三角形相似即可求得點Q的坐標．

解答：解：（1）一次函數(shù)y=2kx-3k+

1

2

（k≠0），
得：2kx-y=3k-

1

2

，
不論k為何值，上式都成立．
所以2x=3，y=

1

2

，
解得：x=

3

2

，y=

1

2

．
即不論k為何值，一次函數(shù)y=2kx-3k+

1

2

（k≠0）的圖象恒過（

3

2

，

1

2

）．


（2）如圖1，作PD⊥x軸于D，CE⊥OP于E，
∵P（

3

2

，

1

2

），
∴OP=

10

2

，
∵∠OPC=45°，
∴CE=PE，
∴OE=

10

2

-CE，
∵PD∥y軸，
∴∠COE=∠OPD，
∴△COE∽△OPD，
∴

CE

OD

=

OE

PD

，
即

CE

1 2

=

10 2 -CE

3 2

，
解得：CE=

10

8

，
∴S_△OPC=

1

2

OP•CE=

1

2

×

10

2

×

10

8

=

5

16

．


（3）存在；
證明：如圖2，若k=-

1

4

，則一次函數(shù)為y=-

1

2

x+

5

4

，
∴A（

5

2

，0），B（0，

5

4

），
∵

QA

QB

=

2

5

，
∴

QA

AB

=

2

7

，
∵

QM

OB

=

AM

OA

=

QA

AB

=

2

7

，
∴QM=

2

7

×

5

4

=

5

14

，AM=

2

7

×

5

2

=

5

7

，
∴OM=OA-AM=

5

2

-

5

7

=

25

14

，
∴Q（

25

14

，

5

14

），
同理證得Q'（

7

2

，-

1

2

），
∴Q點的坐標為（

25

14

，

5

14

），（

7

2

，-

1

2

）．

點評：本題考查了恒等式的性質(zhì)，恒過一個定點，那么應把所給式子重新分配整理成左右都含k的等式，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)等．