【題目】如圖,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求AC的長.
【答案】(1)見解析;(2)AC的長為17.
【解析】
(1)首先根據(jù)垂線的意義得出∠CFD=∠CEB=90°,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CE=CF,即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF;
(2)首先由(1)中全等三角形的性質(zhì)得出DF=EB,然后判定Rt△AFC≌Rt△AEC,得出AF=AE,構(gòu)建方程得出CF,再利用勾股定理即可得出AC.
(1)∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,
∴∠CFD=90°,∠CEB=90°(垂線的意義)
∴CE=CF(角平分線的性質(zhì))
∵BC=CD(已知)
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)
(2)由(1)得,
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB,設(shè)DF=EB=x
∵∠CFD=90°,∠CEB=90°,
CE=CF,AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL)
∴AF=AE
即:AD+DF=AB﹣BE
∵AB=21,AD=9,DF=EB=x
∴9+x=21﹣x解得,x=6
在Rt△DCF中,
∵DF=6,CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中,AC2=CF2+AF2=82+(9+6)2=289
∴AC=17
答:AC的長為17.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:
①b2﹣4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0. 其中,正確結(jié)論的有_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn),設(shè)軸上有一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線(垂線位于點(diǎn)的右側(cè))分別交和的圖象與點(diǎn)、,連接,若,則的面積為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,BE平分∠ABC交AC邊于E,兩線相交于F點(diǎn).
(1)若∠BAC=60°,∠C=70°,求∠AFB的大;
(2)若D是BC的中點(diǎn),∠ABE=30°,求證:△ABC是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,A、B兩城市相距100km.現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB),經(jīng)測量,森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心,50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi).請問計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū).為什么?(參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D點(diǎn),連接CD.
(1)求證:∠A=∠BCD;
(2)若M為線段BC上一點(diǎn),試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí),直線DM與⊙O相切?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC上的一點(diǎn),且AB=AC=DC,BD=CE,連接AD、DE.
(1)求證:△ADE是等腰三角形;
(2)若∠ADE=40°,請求出∠BAC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連結(jié)CE.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),如果∠BAC=90°,則∠BCE= °.
(2)設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí),α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)時(shí),α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請你在備用圖上畫出圖形,并直接寫出你的結(jié)論.
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