Question

【題目】為了美化環(huán)境，學(xué)校準(zhǔn)備在如圖所示的矩形ABCD空地上進(jìn)行綠化，規(guī)劃在中間的一塊四邊形MNPQ上種花，其余的四塊三角形上鋪設(shè)草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ，已知BC＝30米，AB＝42米，設(shè)AN＝x米，種花的面積為y1平方米，草坪面積y2平方米．

（1）分別求y1和y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）當(dāng)AN的長為多少米時(shí)，種花的面積為640平方米？

（3）若種花每平方米需200元，鋪設(shè)草坪每平方米需100元，現(xiàn)設(shè)計(jì)要求種花的面積不大于640平方米，設(shè)學(xué)校所需費(fèi)用W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出學(xué)校所需費(fèi)用的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y1=-2x2+72x；；（2）當(dāng)AN的長為16米或20米時(shí)種花的面積為640平方米；（3）W=-200（x-18）2+190800，190000.

【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式可得y2的解析式，再用長方形面積減去y2，即可得y1的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意把y1=640代入y1=-2x2+72x得關(guān)于x的方程，解方程即可得；
（3）列出總費(fèi)用的函數(shù)解析式，將其配方成頂點(diǎn)式，根據(jù)花的面積不大于640平方米可得x的范圍，結(jié)合此范圍根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得函數(shù)的最大值，從而得解．

解：（1）根據(jù)題意，得，y1=42×30-y2=-2x2+72x；

（2）根據(jù)題意，把y1=640代入y1=-2x2+72x得：-2x2+72x=640，
解得：x1=16，x2=20，
故當(dāng)AN的長為16米或20米時(shí)種花的面積為640平方米；

（3）設(shè)總費(fèi)用為W元，
則W=200（-2x2+72x）+100（2x2-72x+1260）=-200（x-18）2+190800，
由（2）知當(dāng)0＜x≤16或20≤x≤30時(shí)，y1≤640，
在W=-200（x-18）2+190800中，當(dāng)x＜18時(shí)，W隨x的增大而增大，當(dāng)x＞18時(shí)，W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=16時(shí)，W取得最大值，最大值W=190000，
當(dāng)x=20時(shí)，W取得最大值，最大值W=190000，
∴學(xué)校所需費(fèi)用的最大值為190000元．