【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD和過C點(diǎn)的直線互相垂直,垂足為D,且AC平分∠DAB.
(1)求證:DC為⊙O的切線;
(2)若∠DAB=60°,⊙O的半徑為3,求線段AC的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】
(1)連結(jié)OC,如圖,根據(jù)角平分線定義得∴∠DAC=∠OAC,加上∠OAC=∠OCA,則∠DAC=∠OCA,于是可判斷OC∥AD,由于AD⊥DC,所以OC⊥DC,則可根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;
(2)連結(jié)BC,如圖,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可求得答案.
(1)證明: 連接OC
∵ OA=OC
∴ ∠OAC=∠OCA
∵ AC平分∠DAB
∴ ∠DAC=∠OAC
∴ ∠DAC=∠OCA
∴ OC∥AD
∴ ∠ADC+∠OCD=180°
∵ AD⊥CD
∴ ∠ADC =90°
∴ ∠OCD=90°
∴ OC⊥CD
又∵OC是⊙O的半徑
∴ 直線CD是⊙O的切線;
(2)連接BC
∵ AB為⊙O的直徑,
∴ ∠ACB=90°.
∵ AC平分∠DAB , ∠DAB=60°,
∴ ∠CAB=30°.
∵ ⊙O的半徑為3,
∴ AB=6.
∴ BC=3.
在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得 AC2+BC2 =AB2
∴ AC2+32 = 62.
∴ AC=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng),規(guī)則如下:在不透明的袋子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球,這些球除顏色外都相同,顧客每次摸出一個(gè)球,若摸到紅球,則獲得1份獎(jiǎng)品,若摸到黑球,則沒有獎(jiǎng)品。
(1)如果小芳只有一次摸球機(jī)會(huì),那么小芳獲得獎(jiǎng)品的概率為 ;
(2)如果小芳有兩次摸球機(jī)會(huì)(摸出后不放回),求小芳獲得2份獎(jiǎng)品的概率。(請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了美化環(huán)境,學(xué)校準(zhǔn)備在如圖所示的矩形ABCD空地上進(jìn)行綠化,規(guī)劃在中間的一塊四邊形MNPQ上種花,其余的四塊三角形上鋪設(shè)草坪,要求AM=AN=CP=CQ,已知BC=30米,AB=42米,設(shè)AN=x米,種花的面積為y1平方米,草坪面積y2平方米.
(1)分別求y1和y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)當(dāng)AN的長(zhǎng)為多少米時(shí),種花的面積為640平方米?
(3)若種花每平方米需200元,鋪設(shè)草坪每平方米需100元,現(xiàn)設(shè)計(jì)要求種花的面積不大于640平方米,設(shè)學(xué)校所需費(fèi)用W(元),求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出學(xué)校所需費(fèi)用的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),ME⊥AM,ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:△ABM ∽△EMA;
(2)若AB=2,BM=1,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓,經(jīng)過A,B兩點(diǎn),且與BC邊交于點(diǎn)E,D為BE的下半圓弧的中點(diǎn),連接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求證:AC是⊙O的切線:
(2)若BF=8,DF=,求⊙O的半徑r.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為慶祝新中國(guó)成立70周年,河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)開展了以“我和我親愛的祖國(guó)”為主題的“快閃”活動(dòng),九年級(jí)準(zhǔn)備從兩名男生和兩名女生中選出兩名同學(xué)領(lǐng)唱,如果每一位同學(xué)被選中的機(jī)會(huì)均等,則選出的恰為一位男生一位女生的概率是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn)
如圖1,在五邊形中,,,,試猜想,,之間的數(shù)量關(guān).小明地過仔細(xì)思考,得到如下解題思路:
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至.由,得,即點(diǎn),,三點(diǎn)共線,易證_____,被,,之間的數(shù)量關(guān)系是_______;
(2)類比探究
如圖2,在四邊形中,,,點(diǎn),分別在邊,的延長(zhǎng)線上,,連接,試猜想,,之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.
(3)拓展延伸
如圖3,在中,,,點(diǎn),均在邊上,且,若,,則的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF⊥BD,且交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分∠ABD.
(1)①求證:四邊形BFDE是菱形;②求∠EBF的度數(shù).
(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2,G,I分別在BF,BE邊上,且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn),連接FH,并延長(zhǎng)FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IH與FH之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時(shí),點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EF⊥DE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一跨河橋,橋拱是圓弧形,跨度(AB)為16米,拱高(CD)為4米,求:
(1)橋拱半徑.
(2)若大雨過后,橋下河面寬度(EF)為12米,求水面漲高了多少?
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