Question

【題目】 如圖，點(diǎn)P在曲線y=（x＜0）上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在y軸正半軸上，PA=PB，OA、OB的長(zhǎng)是方程t2-8t+12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且OA＞OB，點(diǎn)C是線段PB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABC的外接圓⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)是D．

（1）填空：OA=______；OB=______；k=______．

（2）設(shè)點(diǎn)Q是⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，若圓心M在y軸上且點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是______；

（3）試問(wèn)：在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，BD-BC的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)給出合理的解釋．

Answer 1

【答案】（1）6，2，-60；（2）（，-3-8）；（3）是，定值為4

【解析】

（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（-6，0）、（0，2），設(shè)點(diǎn)P（-6，），由PA=PB，即可求解；

（2）先求出PM解析式，當(dāng)PQ過(guò)圓心M時(shí)，點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值，由兩點(diǎn)距離公式可求解；

（3）BD-BC=2r-2rcos∠DBC，即可求解．

（1）t2-8t+12=0，

解得：t=2或6，

即OA=6，OB=2，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（-6，0）、（0，2），

設(shè)點(diǎn)P（-6，），

由PA=PB得：36+（2+）2=（）2，

解得：k=-60，

故點(diǎn)P（-6，10），

故答案為：6，2，-60；

（2）當(dāng)PQ過(guò)圓心M時(shí)，點(diǎn)P、Q之間的距離達(dá)到最大值，

∵AM2=AO2+OM2，

∴AM2=36+（AM-2）2，

∴AM=10=BM

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，-8）

設(shè)直線PM的解析式為：y=kx-8

∴10=-6k-8

∴k=-3

∴直線PM的解析式為：y=-3x-8

∴設(shè)點(diǎn)Q（a，-3a-8）（a＞0）

∵MQ=10=

∴a=

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，-3-8）

故答案為：（，-3-8）

（3）是定值，理由：

連接CD，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸，

∵tan∠PBH===tan∠DBC，則cos∠DBC=，

∴BD-BC=2r-2rcos∠DBC=2r（1-）=4．