Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）的圖象交于點(diǎn)A（1，a）和點(diǎn)B（﹣1，﹣a）．

（1）求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）要使上述反比例函數(shù)和二次函數(shù)在某一區(qū)域都是y隨著x的增大而增大，求a應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)Q在以AB為直徑的圓上時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）；（2）a＜0且x≤﹣；（3）a＝±．

【解析】

（1）由待定系數(shù)法可求直線AB解析式，即可求解；

（2）由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，可得a＜0，又由二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）的對稱軸為x＝﹣，可得x≤﹣時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大；

（3）先求點(diǎn)Q坐標(biāo)，由OQ＝OA，可得方程，即可求a的值．

（1）設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，

由題意可得

∴b＝0，k＝a，

∴直線AB的解析式為：y＝ax，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，

∴直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）；

（2）∵反比例函數(shù)過點(diǎn)A（1，a），

∴反比例函數(shù)解析式為：y＝，

∵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，

∴a＜0．

∵二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）＝a（x+）2﹣a，

∴對稱軸為：直線x＝﹣．

要使二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對稱軸的左邊，即x≤﹣時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大．

綜上所述，a＜0且x≤﹣；

（3）∵二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）＝a（x+）2﹣a，

∴頂點(diǎn)Q（﹣，﹣a），

∵Q在以AB為直徑的圓上，

∴OA＝OQ，

∴（﹣）2+（﹣）2＝12+a2，

∴a＝±