Question

7．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠ABC=60°，點E為CD邊的中點，AF平分∠BAE，交BC邊于點F，若AB=4，則線段BF的長為2（$\sqrt{7}$-1）．

Answer 1

分析 如圖，作AG∥CD交BC于G，延長DG、AF交于點M，延長AE、BC交于點N，作AH⊥BC于H．先求出AN，AK，證明AK=KM，利用$\frac{KG}{AB}$=$\frac{KN}{AN}$=$\frac{2}{3}$，求出KG，根據(jù)$\frac{FG}{BF}$=$\frac{GM}{AB}$，列出方程，即可解決問題．

解答 解：如圖，作AG∥CD交BC于G，延長DG、AF交于點M，延長AE、BC交于點N，作AH⊥BC于H．

∵AB=CD，
∴∠B=∠DCB=60°=∠AGB，
∴△ABG是等邊三角形，四邊形AGCD是菱形，
在Rt△ABH中，∵AB=4，∠B=60°，
∴BH=2，AH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AHN中，∵HN=10，AH=2$\sqrt{3}$，
∴AN=$\sqrt{A{H}^{2}+H{N}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∵DE=EC，AD∥CN，
∴△ADE≌△NCE，
∴GC=CN=AD，
∴$\frac{AK}{KN}$=$\frac{AD}{GN}$=$\frac{1}{2}$，
∴AK=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$，
∵AB∥DG，
∴∠M=∠BAM=∠MAE，
∴AK=KM=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$，
∵$\frac{KG}{AB}$=$\frac{KN}{AN}$=$\frac{2}{3}$，
∴KG=$\frac{8}{3}$，
∴GM=KM-KG=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$-$\frac{8}{3}$，設(shè)BF=x，
∵$\frac{FG}{BF}$=$\frac{GM}{AB}$，
∴$\frac{4-x}{x}$=$\frac{\frac{4\sqrt{7}}{3}-\frac{8}{3}}{4}$，
解得x=2（$\sqrt{7}$-1），
故答案為2（$\sqrt{7}$-1）．

點評 本題考查等腰梯形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活應(yīng)用平行線分線段成比例定理，屬于中考填空題中的壓軸題．