Question

9．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的正半軸上），與y軸交于點(diǎn)C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點(diǎn)F，G分別在線段BC，AC上．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并指出m的取值范圍；
（3）當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，
①求直線DF的解析式；
②在射線DF上取一點(diǎn)M，使FM=k•DF，若點(diǎn)M恰好落在該拋物線上，則k=$\frac{-5+\sqrt{61}}{9}$．

Answer 1

分析 （1）令x=0求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0求出拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先表示出BE，DE，用矩形的面積公式求解即可；
（3）①由（2）得到的矩形面積的函數(shù)關(guān)系式，面積最大是求出m從而確定出D，F(xiàn)坐標(biāo)即可得出直線解析式；
②先確定出直線DF和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，用比例式求出k．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的正半軸上），
∴令y=0，即：0=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
∴x=-4或x=2，
令x=0，∴y=4，
∴A（2，0），B（-4，0），C（0，4），
（2）由（1）知，OA=2，OC=4，AD=2-m，
∵DG∥OC，
∴$\frac{DG}{AD}=\frac{OC}{OA}$，
∴DG=4-2m．
同理：BE=4-2m，
∴DE=AB-AD-BE=3m，
∴S_矩形DEFG=DG×DE=（4-2m）×3m=-6m²+12m（0＜m＜2）；
（3）①由（2）得，S_矩形DEFG=DG×DE=-6m²+12m=-6（m-1）²+6（0＜m＜2）；
當(dāng)m=1時(shí)，矩形DEFG面積最大，最大面積為6，此時(shí)，D（1，0），G（1，2），F(xiàn)（-2，2），E（-2，0），
∴直線DF解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
②如圖，

由①知，D（1，0），F(xiàn)（-2，2），
∴DF=$\sqrt{13}$，
∴FM=k•DF=$\sqrt{13}$k，
過點(diǎn)M作MG⊥x軸，
設(shè)M（n，-$\frac{2}{3}$n+$\frac{2}{3}$），則G（n，0）
∴EG=-2-n，
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴-$\frac{2}{3}$n+$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{2}$n²-n+4，
∴n=$\frac{-1±\sqrt{61}}{3}$，
∵n＜0，
∴n=$\frac{-1-\sqrt{61}}{3}$，
∴EG=-2-n=$\frac{-5-\sqrt{61}}{3}$
∵D（1，0），E（-2，0），
∴DE=3，
∵EF∥MG，
∴$\frac{DF}{FM}=\frac{DE}{EG}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}k}=\frac{3}{\frac{-5+\sqrt{61}}{3}}$，
∴k=$\frac{-5+\sqrt{61}}{9}$．
故答案為$\frac{-5+\sqrt{61}}{9}$．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行線分線段成比例定理，圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，解本題的關(guān)鍵是求出矩形DEFG的面積的函數(shù)關(guān)系式．