Question

用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形，設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，它各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和為x．

（1）上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和的對應(yīng)關(guān)系如下表：

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	2	2.5	3	4	…
多邊形各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和x	4	5	6	8	…

請寫出S與x之間的關(guān)系式． 答：S=

 

；
（2）請你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn)，如序號⑤．此時所畫的各個多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和x之間的關(guān)系式是S=

 

；
（3）請你繼續(xù)探索，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n個格點(diǎn)時，猜想S與x有怎樣的關(guān)系？

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類

專題：

分析：（1）2=4×

1

2

，2.5=5×

1

2

，3=6×

1

2

，4=8×

1

2

多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個數(shù)和的一半，即S=

1

2

x；
（2）內(nèi)部有2個格點(diǎn)就是指圖形的中間有2個小正方形的頂點(diǎn)，由此畫圖；并根據(jù)圖找出S與x的關(guān)系．
（3）由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時，面積為：S=

1

2

x+（n-1）．

解答：解：（1）多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個數(shù)和的一半，即S=

1

2

x；

（2）如圖所示：

根據(jù)圖可知：
正方形的面積是6，它的各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和x是10，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
6=10×

1

2

+1；
三角形的面積是3，它的各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和x是4，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
3=4×

1

2

+1；
梯形的面積是5，它的各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和x是8，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
5=8×

1

2

+1；
那么S=

1

2

x+1；

（3）通過上題探究可知：
最后的1就是內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)2-1而得；
所以格點(diǎn)多邊形面積=各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和×

1

2

+（多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)-1）；
即S=

1

2

x+（n-1）．

點(diǎn)評：此題考查圖形的變化規(guī)律，需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．