Question

課堂上，老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：你能用手中的矩形紙片盡可能大的折出一個(gè)菱形嗎？有兩位同學(xué)很快折出了各自不同的菱形，如下圖：
（1）如果該矩形紙片的長(zhǎng)為4，寬為3，則圖1、圖2兩圖中的菱形面積分別為：

 

；

 

；
（2）這時(shí)老師說(shuō)，這兩位同學(xué)折出的菱形都不是最大的，聰明的你能夠想出最大的菱形應(yīng)該怎樣折出來(lái)嗎？如圖3所示：在矩形ABCD中，設(shè)AB=3，AD=4，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出面積最大的菱形的示意圖，標(biāo)注上適當(dāng)?shù)淖帜�，并求出這個(gè)菱形的面積．
（3）借題發(fā)揮：如圖4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折疊該矩形，使得點(diǎn)D與AB邊的中點(diǎn)E重合，折痕交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，邊DC折疊后與BC交于點(diǎn)M，試求：△EBM的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：1）由菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半和正方形的面積公式計(jì)算；
（2）以BD為對(duì)角線，E、F分別在AD，BC上，且EF垂直平分BD，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的長(zhǎng)，即為DE的長(zhǎng)，則S_菱形EAFD=DE•AB；
（3）由于AE=BE=1，則在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可求得AF的值，由角的關(guān)系可求得△AEF∽△BME，則

AF

BE

=

AE

BM

，求得BM的長(zhǎng)，則S_△EBM=

1

2

BE•BM．

解答：解：（1）第一個(gè)菱形的面積=3×4÷2=6，
第二個(gè)菱形也是正方形，邊長(zhǎng)為3，則其面積=3×3=9．
故答案是：6，9；
（2）如圖：（以BD或AC為對(duì)角線，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC）．
解：如圖設(shè)線段ED的長(zhǎng)為x．
∵四邊形BFDE是菱形∴ED=BE=x
又∵矩形ABCD中AB=3，AD=4
∴AE=4-x
在Rt△ABE中AE²+AB²=BE²
∴（4-x）²+3²=x²
解之得：x=

25

8

，
∴ED=

25

8

．
∴S_菱形EAFD=DE•AB=

75

8

；

（3）如圖：
∵對(duì)折
∴DF=EF
設(shè)線段DF的長(zhǎng)為x，則EF=x
∵AD=3
∴AF=3-x
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=2
∴AE=BE=1
在Rt△AEF中有AE²+AF²=EF²
∴1²+（3-x）²=x²
解之得：x=

5

3

∴AF=3-x=

4

3

，
在矩形ABCD中由于對(duì)折
∴∠D=∠FEM=90°∴∠1+∠2=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3
∴△AEF∽△BME，
∴

AF

BE

=

AE

BM

，
∴BM=

3

4

．
∴S_△EBM=

1

2

BE•BM=

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，以及菱形和正方形、矩形的性質(zhì)和勾股定理．