Question

已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為1，若將此函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位，則它與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)；若將它向下平移1個(gè)單位，則它經(jīng)過原點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，先利用根與系數(shù)的關(guān)系以及拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為1，得出a，b關(guān)系的等式，進(jìn)而利用頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)得出a，b的等式求出即可，進(jìn)而得出a，b，c的值．

解答：解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
∵y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為1，設(shè)兩交點(diǎn)為：（x₁，0），（x₂，0），
∴|x₁-x₂|=1，
∴（x₁-x₂）²=1，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
∴（-

b

a

）²-4×

c

a

=1①，
∵將拋物線y=ax²+bx+c向上平移一個(gè)單位，則它與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；
∴

4ac-b2

4a

=-1，
∵將拋物線y=ax²+bx+c向下平移一個(gè)單位，則它經(jīng)過原點(diǎn)，
∴c=1②，
∴

4a-b2

4a

=-1，
∴8a=b²③，
把②、③代入①，得
∴

8a

a2

-4×

1

a

=1，
解得：a=4，
∴

4×4-b2

4×4

=-1，
解得：b=±4

2

，
故此二次函數(shù)的解析式為y=4x²+4

2

x+1或y=4x²-4

2

x+1．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線的性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)以及根與系數(shù)的關(guān)系，得出a，c的值是解題的關(guān)鍵．