Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，，AE交BC于點(diǎn)P，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為AE的中點(diǎn).

（1）求證：點(diǎn)P也是BC的中點(diǎn).

（2）若，且，求AP的長(zhǎng).

（3）在（2）的條件下，若線段AE上有一點(diǎn)Q，使得是等腰三角形，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）5；（3）4或或.

【解析】

（1）由，得∠B=∠ECP，由點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，得AP=EP，根據(jù)AAS可證CEPBAP，進(jìn)而得到結(jié)論；

（2）在RtDCP中，利用勾股定理，可得CP的長(zhǎng)，即BP的長(zhǎng)，從而在RtABP中，利用勾股定理，即可求解；

（3）若是等腰三角形，分3種情況討論：①當(dāng)AQ=AB時(shí)，②當(dāng)BQ=AB時(shí)，③當(dāng)AQ=BQ時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AQ的值即可.

（1）∵，

∴∠B=∠ECP，

∵點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，

∴AP=EP，

在CEP和BAP中，

∵（對(duì)頂角相等）

∴CEPBAP（AAS）

∴BP=CP，

∴點(diǎn)P也是BC的中點(diǎn)；

（2）∵，

∴，

∴，

∴BP=CP=3，

∴在RtABP中，

（3）若是等腰三角形，分3種情況討論：

①當(dāng)AQ=AB時(shí)，如圖1，

∵AB=4，

∴AQ=4；

②當(dāng)BQ=AB時(shí)，如圖2，

過(guò)段B作BM⊥AE于點(diǎn)M，

∵在RtABP中，AB=4，BP=3，AP=5，

∴BM=，

∵在RtABM中，，

∴，

∵BQ=AB，BM⊥AE，

∴MQ=AM=，

∴AQ=2×=，

③當(dāng)AQ=BQ時(shí)，

∴∠QAB=∠QBA，

∵，

∴∠QAB+∠QPB=90°，∠QBA+∠QBP=90°，

∴∠QPB=∠QBP，

∴BQ=PQ，

∴AQ= BQ=PQ=AP=×5=；

綜上所述，AQ的長(zhǎng)為：4或或.