Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）設(shè)點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)．
（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在點p，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把點A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；
（2）首先由A的坐標(biāo)可求出OA的長，再根據(jù)四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=-1右側(cè)，進(jìn)而可求出D橫坐標(biāo)為：-1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標(biāo)；
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點P的坐標(biāo)，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將點A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：

4a-2b+c=0 9a-3b+c=0 c=0

，
解得：

a=1 b=2 c=0

，
所以函數(shù)解析式為：y=x²+2x；
（2）∵AO為平行四邊形的一邊，
∴DE∥AO，DE=AO，
∵A（-2，0），
∴DE=AO=2，
∵四邊形AODE是平行四邊形，
∴D在對稱軸直線x=-1右側(cè)，
∴D橫坐標(biāo)為：-1+2=1，代入拋物線解析式得y=3，
∴D的坐標(biāo)為（1，3）；
（3）∵點B（-3，3），C（-1，-1），
∴△BOC為直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①若△PMA∽△COB，設(shè)PM=t，則AM=3t，
∴點P（2-3t，t），
代入y=x²-2x得（2-3t）²-2（2-3t）=t，
解得t₁=0（舍），t₂=

7

9

，
∴P（

1

3

，

7

9

）；
②，若△PMA∽△BOC，
設(shè)PM=3t，則AM=t，點P（2-t，3t），代入y=x²-2x得（2-t）²-2（2-t）=3t，
解得t₁=0（舍），t₂=5，
∴P（3，15）
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（

1

3

，

7

9

）或（3，15）．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性強(qiáng)，同時也考查了學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．