【題目】如圖所示,正方形ABCD中,點E、F、G分別是邊AD、AB、BC的中點,連接EP、FG

1)如圖1,直接寫出EFFG的關(guān)系____________;

2)如圖2,若點PBC延長線上一動點,連接FP,將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段FH,連接EH

①求證:△FFE≌△PFG;②直接寫出EFEH、BP三者之間的關(guān)系;

3)如圖3,若點PCB延長線上的一動點,連接FP,按照(2)中的做法,在圖(3)中補全圖形,并直接寫出EF、EH、BP三者之間的關(guān)系.

【答案】(1)EFFG,EF=FG;(2)詳見解析;(3)補全圖形如圖3所示,EF+BP=EH

【解析】

1)根據(jù)線段中點的定義求出AE=AF=BF=BG,得出∠AFE=AEF=BFG=BGF=45°,求出∠EFG的度數(shù),由“SAS”證得△AEF△BFG全等,得出EF=FG,即可得出結(jié)果;

2由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠PFH=90°,FP=FH,證出∠GFP=∠EFH,由SAS即可得出△HFE≌△PFG;

由全等三角形的性質(zhì)得出EH=PG,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出EF=AF=BG,因此BG=EF,再由BG+GP=BP,即可得出結(jié)論;

3)根據(jù)題意作出圖形,然后同(2)的思路求解即可.

解:(1)如圖1所示:

∵點E、F、G分別是邊ADAB、BC的中點,

AE=AF=BF=BG,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠AFE=AEF=BFG=BGF=45°

∴∠EFG=180°-AFE-BFG=180°-45°-45°=90°

EFFG,

在△AEF和△BFG中,

,

∴△AEF≌△BFGSAS),

EF=FG,

故答案為:EFFG,EF=FG;

2)如圖2所示:

①證明:由(1)得:∠EFG=90°,EF=FG,

∵將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段FH

∴∠PFH=90°,FP=FH,

∵∠GFP+PFE=90°,∠PFE+EFH=90°

∴∠GFP=EFH,

在△HFE和△PFG中,

,

∴△HFE≌△PFGSAS);

②解:由①得:△HFE≌△PFG,∴EH=PG,

AE=AF=BF=BG,∠A=B=90°,

EF=AF=BG,

BG=EF

BG+GP=BP,

EF+EH=BP;

3)解:補全圖形如圖3所示,EF+BP=EH.理由如下:

由(1)得:∠EFG=90°,EF=FG,

∵將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段FH,

∴∠PFH=90°,FP=FH

∵∠EFG+GFH=EFH,∠PFH+GFH=GFP,

∴∠GFP=EFH

在△HFE和△PFG中,

,

∴△HFE≌△PFGSAS),

EH=PG,

AE=AF=BF=BG,∠A=ABC=90°,

EF=AF=BG,

BG=EF,

BG+BP=PG,

EF+BP=EH

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