Question

如圖，已知線段AB長(zhǎng)為6，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，B在y軸正半軸，繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，B點(diǎn)恰好落在x軸上D點(diǎn)處，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)且四邊形ABCD是平行四邊形．
（1）求點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若半徑為1的⊙P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-B-D-C以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速移動(dòng)，同時(shí)⊙P的半徑以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)的速度增加，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，
①t為何值時(shí)，⊙P與y軸相切？
②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻，⊙P與四邊形ABCD四邊都相切？若存在，說(shuō)出理由；若不存在，問(wèn)題中⊙P的半徑以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)速度增加改為多少時(shí)就存在；
（3）若線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，線段AB掃過(guò)的面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）求出OB的長(zhǎng)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出AD的長(zhǎng)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，
（2）①分兩種情況討論：當(dāng)P在AB上時(shí)，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=3-2t，當(dāng)P在BD上時(shí)，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=2t-3，再求解即可，
②設(shè)⊙P的半徑以acm/s的速度增加，當(dāng)點(diǎn)P在菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，與四邊形ABCD都相切，⊙P的半徑1+

9

4

a，再求出BD和AC的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)若⊙P與四邊形ABCD相切，則1+

9

4

a=1.5

3

，即可得出答案，
（3）過(guò)O作OE⊥AB，根據(jù)△BOA∽△OEA，求出OE，從而求出S=（3

3

）²π-（1.5

3

）²π，再計(jì)算即可．

解答：解（1）∵OB=

62-32

=6

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（6，3

3

），
∵AD=AB=6，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，0），

（2）①當(dāng)P在AB上時(shí)，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=3-2t，
t=

4

5

，
當(dāng)P在BD上時(shí)，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=2t-3，
t=

8

3

，
②不存在
設(shè)⊙P的半徑以acm/s的速度增加，
當(dāng)點(diǎn)P在菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，到ABCD的距離相等，即與四邊形ABCD都相切，
此時(shí)t=

9

4

，⊙P的半徑1+

9

4

a，
設(shè)BD的解析式為：y=kx+b，AC的解析式為：y=ax+c，
解得：BD的解析式為：y=-

3

x+3

3

，AC的解析式為：y=

3

3

x+

3

，
-

3

x+3

3

=

3

3

x+

3

，
解得；x=

3

2

，
則y=1.5

3

，
若⊙P與四邊形ABCD相切，
則1+

9

4

a=1.5

3

，
解得：a=

6 3 -4

9

，
則⊙P的半徑以

6 3 -4

9

cm/s的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)就存在，

（3）過(guò)O作OE⊥AB，
則△BOA∽△OEA，

BO

OE

=

BA

OA

，
解得；OE=1.5

3

，
S=（3

3

）²π-（1.5

3

）²π=

81

4

π，
則線段AB掃過(guò)的面積是

81

4

π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是菱形的性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分類討論．