Question

已知一個矩形紙片OABC，將該紙片放置在平面直角坐標系中，如圖，點A（5，0），從（0，

5

2

），把矩形紙片沿對角線AC折疊，使點O落在點D，AD、BC相交于點E．
（1）求CE的長；
（2）求直線AC的函數(shù)解析式及點D的坐標；
（3）求經過點C、D、B拋物線的解析式；
（4）過點D作x軸的垂線，交直線AC于點F，點P是拋物線上的任意一點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點Q在拋物線上是否存在點P，使以點P、D、F、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的判定與性質,勾股定理,平行四邊形的性質,矩形的性質

專題：壓軸題

分析：（1）由題可得BC=5，AB=

5

2

，易證EC=EA，設EC=x，則EA=x，EB=5-x，在Rt△ABE中運用勾股定理就可求出CE的長；
（2）只需運用待定系數(shù)法就可求出直線AC的解析式，在Rt△CDE中運用面積法可求出DG，再運用勾股定理可求出CG，就可得到點D的坐標；
（3）只需運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（4）根據(jù)點D的坐標可求出DF的長，設點P的橫坐標為p，則點P、Q的縱坐標就可用p的代數(shù)式表示，易證DF∥PQ，所以DF與PQ是平行四邊形的對邊，則有PQ=DF，然后分點P在點Q的上方和下方兩種情況討論，利用PQ=DF建立關于p的方程，然后解方程，就可解決問題．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，A（5，0），C（0，

5

2

），
∴∠ABC=90°，AB=OC=

5

2

，BC=OA=5，BC∥OA，
∴∠BCA=∠OAC．
由折疊可得：DC=OC=

5

2

，AD=OA=5，∠CDA=∠COA=90°，∠OAC=∠DAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴EC=EA．
設EC=x，則EA=x，EB=BC-EC=5-x．
在Rt△ABE中，
（5-x）²+（

5

2

）²=x²，
解得：x=

25

8

．
則CE的長為

25

8

；

（2）設直線AC的解析式為y=mx+n，
則有

5m+n=0 n= 5 2

，
解得：

m=- 1 2 n= 5 2

，
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

；
在Rt△CDE中，
∵DC=

5

2

，CE=

25

8

，DE=DA-AE=5-

25

8

=

15

8

，
∴DG=

DC•DE

CE

=

5 2 × 15 8

25 8

=

3

2

，
∴CG=

DC2-DG2

=

( 5 2 )2-( 3 2 )2

=2，
∴點D的坐標為（2，

3

2

+

5

2

）即（2，4）．
設經過點C、D、B拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵C（0，

5

2

）、D（2，4）、B（5，

5

2

），
∴

c= 5 2 4a+2b+c=4 25a+5b+c= 5 2

，
解得：

a=- 1 4 b= 5 4 c= 5 2

，
∴經過點C、D、B拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

5

4

x+

5

2

；

（3）∵DF⊥x軸，∴x_F=x_D=2，
∵點F在直線AC上，∴y_F=-

1

2

×2+

5

2

=

3

2

，
∴DF=y_D-y_F=4-

3

2

=

5

2

．
設點P的橫坐標為p，
∵PQ⊥x軸，∴x_P=x_Q=p，
∵點P在拋物線y=-

1

4

x²+

5

4

x+

5

2

上，點Q在直線y=-

1

2

x+

5

2

上，
∴y_P=-

1

4

p²+

5

4

p+

5

2

，y_Q=-

1

2

p+

5

2

．
若點P、D、F、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
∵DF⊥x軸，PQ⊥x軸，
∴DF∥PQ，
∴DF與PQ是平行四邊形的對邊，
∴PQ=DF=

5

2

．
①若點P在點Q的上方，
則有PQ=（-

1

4

p²+

5

4

p+

5

2

）-（-

1

2

p+

5

2

）=-

1

4

p²+

7

4

p=

5

2

，
解得：p₁=2，p₂=5，
當p=2時，y_P=-

1

4

×2²+

5

4

×2+

5

2

=4，
此時點P與點D重合，故舍去，
當p=5時，y_P=-

1

4

×5²+

5

4

×5+

5

2

=

5

2

，
∴點P的坐標為（5，

5

2

）；
②若點P在點Q的下方，
則有PQ=（-

1

2

p+

5

2

）-（-

1

4

p²+

5

4

p+

5

2

）=

1

4

p²-

7

4

p=

5

2

，
解得：p₃=

7+ 89

2

，p₄=

7- 89

2

，
當p=

7+ 89

2

時，y_P=-

1

4

×（

7+ 89

2

）²+

5

4

×（

7+ 89

2

）+

5

2

=-

7+ 89

4

，
當p=

7- 89

2

時，y_P=-

1

4

×（

7- 89

2

）²+

5

4

×（

7- 89

2

）+

5

2

=

-7+ 89

4

，
∴點P的坐標為（

7+ 89

2

，-

7+ 89

4

）或（

7- 89

2

，

-7+ 89

4

）．
綜上所述：當點P、D、F、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P的坐標為（5，

5

2

）或（

7+ 89

2

，-

7+ 89

4

）或（

7- 89

2

，

-7+ 89

4

）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求直線及拋物線的解析式、矩形的性質、平行四邊形的性質、軸對稱的性質、等腰三角形的判定與性質、解方程、勾股定理等知識，綜合性比較強，運用分類討論并利用PQ=DF建立方程是解決第（4）小題的關鍵．