Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，CE平分∠ACB，交AD于G，GF∥BC交AB于F，求證：AE=BF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠B=∠7的關系，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得BF=GH，∠B=∠6，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AG與GH的關系，根據(jù)余角的性質(zhì)，∠3與∠5的關系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AE與AG的關系，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答：證明：如圖，
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，∠B+∠BCA=90°．
∵AD⊥BC與點D，
∴在Rt△ADC中，∠DAC+∠BCA=90°，
∴∠B=∠DAC，
過點G作GH∥AB，
又∵GF∥BC，
∴四邊形BHGF為平行四邊形，
∴BF=GH，∠B=∠GHD，
∴∠GHD=∠DAC，
在△ACG和△HCG中

∠ACG=∠HCG CG=CG ∠CAG=∠CHG

，
∴△ACG≌△HCG（AAS），
∴AG=GH，
∴BF=AG．
∵∠AGE=∠CGD，
在Rt△CDG中，∠CGD+∠GCD=90°，
∴∠AGE+∠GCD=90°．
又∵在Rt△CAE中，∠ACG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG，
∵BE=AG，
∴AE=BF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)運用的知識較多，題目有一定難度．