Question

如圖，在等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC上的點，且BD=CE，AE、CD相交于點F，AG⊥CD，垂足為G．求證：
（1）△ACE≌△CBD；
（2）AF=2FG．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）由等邊三角形的三條邊相等、三個內角都是60°可以推知：AC=CB，∠ACE=∠CBD=60°，然后結合已知條件，利用全等三角形的判定定理SAS證得結論；
（2）欲證AF=2FG，因為AG⊥CD，△AGF為直角三角形，根據三角函數證明∠GAF=30°或∠AFD=60即可，需要證明△ADF∽△ABE，通過證明△ABE≌△CAD可以得出．

解答：證明：（1）如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=CB，∠ACE=∠CBD=60°．
在△ACE與△CBD中，

AC=CB ∠ACE=∠CBD CE=BD

，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）由（1）知，△ACE≌△CBD，
∴∠AEC=∠CDB，
∴∠AEB=∠CDA，又∠EAD為公共角，
∴△ADF∽△ABE．
∴∠AFD=∠B=60°．
∵AG垂直CD，即∠AGF=90°，
∴∠GAF=30°，
∴AF=2FG（直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）．

點評：此題主要考查等邊三角形的性質、三角形全等的判定與性質及有30°角的直角三角形的性質等知識；難度較大，有利于培養(yǎng)同學們鉆研和探索問題的精神，證明線段是2倍關系的問題往往要用到有30°角的直角三角形的性質求解，要熟練掌握．