Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為

3

，E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上的點，且∠EAF=45°，
EC+CF=2，求△AEF的面積．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠DAB=90°，則可把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABG=90°，∠FAG=90°，AF=AG，BG=DF，
易得BG與BE共線，則GE=BG+BE=BE+DF，由∠EAF=45°得到∠GAE=45°，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AEF≌△AEG，得到S_△AEF=S_△AEG，由于正方形ABCD的邊長為

3

，EC+CF=2，所以BE+EC+CF+DF=2

3

，則BE+DF=2

3

-2，于是GE=2

3

-2，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，如圖，
∴∠ABG=90°，∠FAG=90°，AF=AG，BG=DF，
而∠ABC=90°，
∴BG與BE共線，
∴GE=BG+BE=BE+DF，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=90°-∠EAF=45°，
在△AEF和△AEG中，

AE=AE ∠EAF=∠EAG AF=AG

，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴S_△AEF=S_△AEG，
∵正方形ABCD的邊長為

3

，EC+CF=2，
∴BE+EC+CF+DF=2

3

，
∴BE+DF=2

3

-2，
∴GE=2

3

-2，
∴S_△AEG=

1

2

AB•GE=

1

2

×

3

×（2

3

-2）=3-

3

，
∴S_△AEF=3-

3

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．