Question

已知AB∥CD，分別探討四個(gè)圖形中∠APC，∠PB，∠PCD的關(guān)系．

（1）請(qǐng)說(shuō)明圖①、②中三個(gè)角的關(guān)系，并且加以證明；
（2）猜想圖③、④中三個(gè)角的關(guān)系，并任意選擇其中的一個(gè)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：①首先過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，又由AB∥CD，可得PQ∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠PBA+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，則可得∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PBA+∠1+∠2+∠PCD=360°；
②首先過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，又由AB∥CD，可得PQ∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，則可得∠APC=∠PAB+∠PCD；
③由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得∠1=∠PCD，然后由三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠PCD=∠PAB+∠APC；
④由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠1=∠PAB，然后由三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠PAB=∠PCD+∠APC．

解答：解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PAB+∠1+∠2+∠PCD=360°；

如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∵∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）如圖③，∵AB∥CD，
∴∠1=∠PCD，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠PAB+∠APC；

如圖④，∵AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，
∵∠1=∠PCD+∠APC，
∴∠PAB=∠PCD+∠APC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)與輔助線的添加方法是解此題的關(guān)鍵．