Question

【題目】已知二次函數(shù)與一次函數(shù)，

（1）求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)與的圖象相交于兩點(diǎn)，的圖象與軸相交于點(diǎn)，記與的面積分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：總是定值；

（3）對(duì)于二次函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恰好有，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）把兩函數(shù)聯(lián)立得到一元二次方程，根據(jù)根的判別式△＞0即可求解；

（2）設(shè)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，得到，再代入即可求解；

（3）先把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，當(dāng)時(shí)，有最大值，根據(jù)當(dāng)時(shí)，恰好有，故，而函數(shù)的對(duì)稱軸為，得到函數(shù)值會(huì)隨著增大而增大，把（a,a）和（b,b）代入二次函數(shù)，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，故可求出的值．

解：（1）聯(lián)立與的方程

消去得

對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）設(shè)，則是方程的兩根，

由根與系數(shù)的關(guān)系知：，因?yàn)槎�次函�?shù)與軸相交于點(diǎn)

所以

故總是定值；

（3），當(dāng)時(shí)，有最大值，

所以，而函數(shù)的對(duì)稱軸為，

所以當(dāng)時(shí)，

函數(shù)值會(huì)隨著增大而增大，

把（a,a）和（b,b）代入二次函數(shù)得，

則

所以是方程的兩根且這兩根均小于4，

所以

∴．