Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，Q是直徑AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DQ并延長(zhǎng)交⊙O于P．若QP=QO，則

QA

QC

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專題：

分析：分兩種情況①設(shè)⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r+m，QA=r-m．②設(shè)⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，
QC=m，QA=r+m，分別利用相交弦定理，求出m與r的關(guān)系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．

解答：解：①如圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r+m，QA=r-m．

在⊙O中，根據(jù)相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r-m）（r+m）=m•QD，所以QD=

r2-m2

m

．
連接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即（

r2-m2

m

）²=r²+m²，
解得m=

3

3

r．
所以

QA

QC

=

r-m

r+m

=

3 -1

3 +1

=2-

3

．
②如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=m，QA=r+m．

在⊙O中，根據(jù)相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r+m）（r-m）=m•QD，所以QD=

r2-m2

m

．
連接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即（

r2-m2

m

）²=r²+m²，
解得m=

3

3

r．
所以

QA

QC

=

r+m

r-m

=

3 -1

3 +1

3 +1

3 -1

=2+

3

．
故答案為：2-

3

，或2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相交弦定理，即“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等”．熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．