【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,將點P繞點T(t,0)(t>0)旋轉(zhuǎn)180°得到點Q,則稱點Q為點P的“發(fā)展點”.
(1)當(dāng)t=3時,點(0,0)的“發(fā)展點”坐標(biāo)為 ,點(﹣1,﹣1)的“發(fā)展點”坐標(biāo)為 .
(2)若t>2,則點(2,3)的“發(fā)展點”的橫坐標(biāo)為 (用含t的代數(shù)式表示 ).
(3)若點P在直線y=2x+6上,其“發(fā)展點”Q在直線y=2x﹣8上,求點T的坐標(biāo).
(4)點P(2,2)在拋物線y=﹣x2+k上,點M在這條拋物線上,點Q為點P的“發(fā)展點”,若△PMQ是以點M為直角頂點的等腰直角三角形,求t的值.
【答案】(1)(6,0),(7,1);(2)2t﹣2;(3)T(,0);(4)t的值為或5.
【解析】
(1)利用數(shù)形結(jié)合的思想和中心對稱的性質(zhì)求解;
(2)利用數(shù)形結(jié)合的思想和中心對稱的性質(zhì)求解;
(3)設(shè),,點和點關(guān)于對稱,根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到,,然后求出得到點坐標(biāo);
(4)先把代入中求出得到拋物線解析式為,利用點為點的“發(fā)展點”得到點為的中點,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到為等腰直角三角形,討論:當(dāng)時,把點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得,然后點的坐標(biāo)代入得,再解方程即可;當(dāng)時,利用同樣方法求對應(yīng)的值.
(1)把(0,0)繞點(3,0)旋轉(zhuǎn)180°得到點的坐標(biāo)為(6,0);
把(﹣1,﹣1)繞點(3,0)旋轉(zhuǎn)180°得到點的坐標(biāo)為(7,1);
(2)把(2,3)繞點(t,0)旋轉(zhuǎn)180°得到點的坐標(biāo)為(2t﹣2,﹣3);
故答案為(6,1),(7,1);2t﹣2;
(3)設(shè)P(m,2m+6),Q(n,2n﹣8),
∵P點和Q點關(guān)于T(t,0)對稱,
∴=0,=t,
∴m+n=1,t=,
∴T(,0);
(4)把(2,2)代入y=﹣x2+k得﹣4+k=2,
解得k=6,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+6,
∵點Q為點P的“發(fā)展點”,
∴點T為PQ的中點,
∵△PMQ是以點M為直角頂點的等腰直角三角形,
∴MT垂直平分PQ,
∴△PTM為等腰直角三角形,
當(dāng)0<t≤2時,
把P點繞T點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點M,
則M(t+2,t﹣2),
把M(t+2,t﹣2)代入y=﹣x2+6得﹣(t+2)2+6=t﹣2,
解得t1=,t2=(舍去),
當(dāng)t>2時,
把P點繞T點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點M,
則M(t﹣2,2﹣t),
把M(t﹣2,2﹣t)代入y=﹣x2+6得﹣(t﹣2)2+6=2﹣t,
解得t1=5,t2=0(舍去),
綜上所述,t的值為或5.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖,AD與地面的夾角為60°,為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角,使其由45°變成37°,因此傳送帶的落地點由點B到點C向前移動了2米.
(1)求點A與地面的高度;
(2)如果需要在貨物著地點C的左側(cè)留出2米,那么請判斷距離D點14米的貨物2是否需要挪走,并說明理由.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】鐘南山院士談到防護新型冠狀病毒肺炎時說:“我們需要重視防護,但也不必恐慌,盡量少去人員密集的場所,出門戴口罩,在室內(nèi)注意通風(fēng),勤洗手,多運動,少熬夜.”…某社區(qū)為了加強社區(qū)居民對新型冠狀病毒肺炎防護知識的了解,通過微信群宣傳新型冠狀病毒肺炎的防護知識,并鼓勵社區(qū)居民在線參與作答《2020年新型冠狀病毒防治全國統(tǒng)一考試(全國卷)》試卷,社區(qū)管理員隨機從甲、乙兩個小區(qū)各抽取20名人員的答卷成績,并對他們的成績(單位:分)進行統(tǒng)計、分析,過程如下:
收集數(shù)據(jù):
甲小區(qū): | 85 | 80 | 95 | 100 | 90 | 95 | 85 | 65 | 75 | 85 | 90 | 90 | 70 |
90 | 100 | 80 | 80 | 90 | 95 | 75 | |||||||
乙小區(qū): | 80 | 60 | 80 | 95 | 65 | 100 | 90 | 85 | 85 | 80 | 95 | 75 | 80 |
90 | 70 | 80 | 95 | 75 | 100 | 90 |
整理數(shù)據(jù):
成績 x(分) | 60≤x≤70 | 70<x≤80 | 80<x≤90 | 90<x≤100 |
甲小區(qū) | 2 | 5 | a | b |
乙小區(qū) | 3 | 7 | 5 | 5 |
分析數(shù)據(jù):
統(tǒng)計量 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲小區(qū) | 85.75 | 87.5 | c |
乙小區(qū) | 83.5 | d | 80 |
應(yīng)用數(shù)據(jù):
(1)填空:= ,= ,= ,= ;
(2)若甲小區(qū)共有800人參與答卷,請估計甲小區(qū)成績大于90分的人數(shù);
(3)社區(qū)管理員看完統(tǒng)計數(shù)據(jù),準(zhǔn)備從成績在60到70分之間的兩個小區(qū)中隨機抽取2人進行再測試,請求出抽取的兩人恰好一個是甲小區(qū)、一個是乙小區(qū)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖1,四邊形是正方形,分別在邊、上,且,我們把這種模型稱為“半角模型”,在解決“半角模型”問題時,旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法.
(1)在圖l中,連接,為了證明結(jié)論“”,小亮將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后解答了這個問題,請按小亮的思路寫出證明過程;
(2)如圖2,當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時,試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
(3)如圖3,如果四邊形中,,,,且,,,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】取三張形狀大小一樣,質(zhì)地完全的相同卡片,在三張卡片上分別寫上“李明、王強、孫偉”這三個同學(xué)的名字,然后將三張卡片放入一個不透明的盒子里.
(1)林老師從盒子中任取一張,求取到寫有李明名字的卡片概率是多少?
(2)林老師從盒子中取出一張卡片,記下名字后放回,再從盒子中取出第二張卡片,記下名字.用列表或畫樹形圖列出林老師取到的卡片的所有可能情況,并求出兩次都取到寫有李明名字的卡片的概率.
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【題目】如圖,菱形頂點在函數(shù)的圖象上,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,且經(jīng)過點,兩點,若,,則的值為________.
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【題目】在坐標(biāo)平面內(nèi),△ABC的頂點位置如圖所示.
(1)將△ABC作平移交換(x,y)→(x+2,y-3)得到,畫出.
(2)以點O為位似中心縮小得到,使與的相似比為1:2,且點A與其對應(yīng)點位于點O的兩側(cè),畫出.
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【題目】在同一直線上有A、B兩地,甲車從A地送貨到B地,同時乙車從B地前往A地,兩車皆勻速行駛.途中某一時刻,甲車發(fā)現(xiàn)有貨物落在A、B之間的某處C地,于是立刻掉頭并以自己原來速度的兩倍勻速返回,取到貨物后,再以最初的速度繼續(xù)勻速向B地行駛.兩車之間的距離y(千米)與甲車行駛的時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示(途中掉頭、取貨物耽誤時間忽略不計),當(dāng)乙車到達(dá)A地時,甲車到A地的距離為_____千米.
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【題目】國家規(guī)定,中小學(xué)生每天在校體育活動時間不低于1小時.為了解這項政策的落實情況,有關(guān)部門就“你某天在校體育活動時間是多少”的問題,在某校隨機抽查了部分學(xué)生,再根據(jù)活動時間(小時)進行分組(A組:,B組:,C組:,D組:),繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中信息回答問題:
(1)此次抽查的學(xué)生數(shù)為________人;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)從抽查的學(xué)生中隨機詢問一名學(xué)生,該生當(dāng)天在校體育活動時間低于1小時的概率是__________;
(4)若當(dāng)天在校學(xué)生數(shù)為1200人,請估計在當(dāng)天達(dá)到國家規(guī)定體育活動時間的學(xué)生有__________人.
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