Question

用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=6cm；在△DEF中，∠EDF=90°，∠DEF=45°，DE=4cm．將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動(dòng)．在移動(dòng)過程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上（移動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合）．
（1）當(dāng)△DEF移動(dòng)什么位置（即AD的長度為多少）時(shí)，F(xiàn)、C兩點(diǎn)的連線與AB平行？
（2）當(dāng)△DEF移動(dòng)什么位置（即AD的長度為多少）時(shí)，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,含30度角的直角三角形,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）因?yàn)椤螧=90°，∠A=30°，BC=6cm，所以AC=12cm，又因?yàn)椤螰DE=90°，∠DEF=45°，DE=4cm，所以DF=4cm，連接FC，設(shè)FC∥AB，則可求證∠FCD=∠A=30°，故AD的長可求；
（2）設(shè)AD=x，則FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，再分情況討論：FC為斜邊；AD為斜邊；BC為斜邊．綜合分析即可求得AD的長．

解答：解：（1）∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm
∴AC=12cm
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4cm
∴DF=4cm
連接FC，設(shè)FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中，DC=4

3

cm
∴AD=AC-DC=（12-4

3

）cm
∴AD=（12-4

3

）cm時(shí)，F(xiàn)C∥AB；

（2）設(shè)AD=x，在Rt△FDC中，F(xiàn)C²=DC²+FD²=（12-x）²+16
∵AC=12cm，DE=4cm，
∴AD≤8cm，
①當(dāng)FC為斜邊時(shí)，
由AD²+BC²=FC²得，x²+6²=（12-x）²+16，x=

31

6

；
②當(dāng)AD為斜邊時(shí)，
由FC²+BC²=AD²得，（12-x）²+16+6²=x²，x=

49

6

＞8（不合題意舍去）；
③當(dāng)BC為斜邊時(shí)，
由AD²+FC²=BC²得，x²+（12-x）²+16=36，x²-12x+62=0，方程無解，
∴由①②③得，當(dāng)x=

31

6

cm時(shí)，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，難度大．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．注意解題的方法不惟一，可讓學(xué)生采用不同方法求解，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．