如圖，平面直角坐標(biāo)系中，B（-4，0），C（1，0），以BC為直徑作⊙M，交y軸正半軸于點(diǎn)A，過(guò)A、B、C三點(diǎn)作拋物線．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求拋物線解析式；
（3）P（x，y）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若∠BPC為銳角，寫(xiě)出x的取值范圍；
（4）記E為拋物線的頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)E出發(fā)，沿線段EM以速度v1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q后，再以速度v2沿直線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，若v1：v2=
41
：4，要使點(diǎn)F從點(diǎn)E到點(diǎn)C的用時(shí)最短，試確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
專(zhuān)題：
分析：（1）A點(diǎn)首先在圓上，同時(shí)又在拋物線上，由（2）的目標(biāo)是求拋物線解析式，所以本問(wèn)肯定要運(yùn)用圓的知識(shí)，連接AM，△AMO即為直角三角形，且AM，MO長(zhǎng)易知，所以AO易知，A坐標(biāo)易得．
（2）由A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)已知，則拋物線用待定系數(shù)法求解即可，但注意B、C為拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，使用y=a（x+4）（x-1）計(jì)算較簡(jiǎn)單．
（3）用時(shí)最短在初看本題并不好理解，把問(wèn)題搞清楚是我們解決問(wèn)題的第一要?jiǎng)?wù)，所以可以任在EM上找一點(diǎn)Q，然后過(guò)Q作BE的垂線簡(jiǎn)單計(jì)算了解題目想要真正傳達(dá)我們的信息．計(jì)算三角形EBM時(shí)發(fā)現(xiàn)其邊長(zhǎng)中含有
41
，且進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)在Rt△EQN中，
EQ
NQ
=
41
4
，即EQ=
41
4
NQ．而v1=
41
4
v2，而t=
EQ
v1
+
CQ
v2
=
41
4
NQ
41
4
v2
+
QC
v2
=
NQ+QC
v2
，即當(dāng)NQ+QC最短時(shí)，t最小．此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為垂線段最短的問(wèn)題，結(jié)論易得．
解答：解：（1）如圖1，連接AM．
∵B（-4，0），C（1，0），
∴BC=5，
∴AM=BM=CM=
5
2
，
∴OM=CM-OC=
3
2
，
∴根據(jù)勾股定理，AO=
AM2-OM2
=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．

（2）∵拋物線過(guò)B（-4，0），C（1，0），
∴設(shè)拋物線為y=a（x+4）（x-1），
∴拋物線過(guò)A（0，2），
∴將A（0，2）代入y=a（x+4）（x-1），解得a=-
1
2
，
∴拋物線為y=-
1
2
（x+4）（x-1）=-
1
2
x2-
3
2
x+2．

（3）如圖2，記拋物線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，易得D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，2），
∵當(dāng)P點(diǎn)在B左邊，DA之間，C右邊時(shí)，∠BPC為銳角，
∴當(dāng)x＜-4或-3＜x＜0或x＞1時(shí)，∠BPC為銳角．

（4）如圖3，連接BE，過(guò)點(diǎn)Q，作QN⊥BE，
∵拋物線為y=-
1
2
x2-
3
2
x+2，
∴根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，頂點(diǎn)E坐標(biāo)為（-
3
2
，
25
8
）．
∵M(jìn)（-
3
2
，0），B（-4，0），
∴EM=
25
8
．
在Rt△EBM中，
∵BM=
5
2
，
∴BE=
5
8
41
，
∴sin∠BEM=
BM
BE
=
4
41
，
∴在Rt△EQN中，
EQ
NQ
=
41
4
，即EQ=
41
4
NQ．
∵v1：v2=
41
：4
∴v1=
41
4
v2，
∴t=
EQ
v1
+
CQ
v2
=
41
4
NQ
41
4
v2
+
QC
v2
=
NQ+QC
v2
，
∴當(dāng)NQ+QC最短時(shí)，t最�。�
如圖4，記BE與⊙M交點(diǎn)為N，連接CN交EM于點(diǎn)Q，此時(shí)NQ+QC最短，此時(shí)∠BEM=∠BCN．
∵在Rt△BEM中，tan∠BEM=
BM
EM
=
5
2
25
8
=
4
5
，
∴在Rt△QMC中，QM=MC•tan∠BCN=MC•tan∠BEM=
5
2
•
4
5
=2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-
3
2
，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了圓的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式、解直角三角形及利用垂線段最短求解最值等問(wèn)題．前兩問(wèn)是非常常規(guī)的題目，最后一問(wèn)在初看本題并不好理解，所以要首先任在EM上找一點(diǎn)Q，然后過(guò)Q作BE的垂線簡(jiǎn)單計(jì)算以了解題目想要真正傳達(dá)我們的信息．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）解方程：
1-x
2-x
-3=
1
x-2
．
（2）解方程：
4
x2-1
+
x+2
1-x
=-1．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知矩形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與B、C重合），連結(jié)AE、DE，以AE為邊作矩形AG，使邊FG過(guò)點(diǎn)D．
（1）求證：△ABE∽△AGD；
（2）求證：矩形AEFG與矩形ABCD的面積相等．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一項(xiàng)工程，甲、乙兩公司合作，18天可以完成，共需付施工費(fèi)64800元；如果甲、乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，乙公司所用時(shí)間是甲公司的1.2倍，乙公司每天的施工費(fèi)比甲公司每天的施工費(fèi)少1400元．
（1）甲、乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天？
（2）若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，哪個(gè)公司的施工費(fèi)較少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面兩則材料，然后解決問(wèn)題：
材料1：小學(xué)時(shí)我們學(xué)過(guò)，任何一個(gè)假分?jǐn)?shù)都可以化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，同樣道理，任何一個(gè)分子次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式都可以化為一個(gè)整式與另一個(gè)分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次數(shù)低于分母次數(shù)．如：
x2-2x-4
x-1
=
(x-1)2-5
x-1
=(x-1)-
5
x-1
．
材料2：對(duì)于式子2+
3
1+x2
，利用換元法，令t=1+x2，y=
3
t
．則由于t=1+x2≥1，
所以反比例函數(shù)y=
3
t
有最大值，且為3．因此分式2+
3
1+x2
的最大值為5．
根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：
問(wèn)題1：把分式
x2+2x+10
x+2
化為一個(gè)整式與另一個(gè)分式的和的形式，其中分式的分子次數(shù)低于分母次數(shù)．
問(wèn)題2：當(dāng)x的值變化時(shí)，求分式
4x2-8x+11
x2-2x+3
的最大（或最�。┲担�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖：小明在大樓的東側(cè)A處發(fā)現(xiàn)仰角為75°的方向上有一熱氣球，此時(shí)小亮在大樓的西側(cè)B處測(cè)得氣球的仰角為30°．已知AB的距離為120m，設(shè)氣球所在位置為C，且A、B、C三點(diǎn)在同一平面上，試求此時(shí)小明、小亮與氣球的距離AC和BC（結(jié)果保留根號(hào)）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

因式分解：
（1）4a4-64；
（2）3ma3-6ma2+3ma；
（3）（x2-5）2+8（x2-5）+16．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）計(jì)算：（
3
-1）（
3
+1）+（
2
-1）0-（-
1
3
）-2；
（2）化簡(jiǎn)：
1
m+3
-
6
9-m2
+
2
m-3
；
（3）解方程：
x
x-2
+
6
x+2
=1．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，直線l1與x軸夾角為30°，直線l2與y軸夾角為30°，B為l2上一點(diǎn)，且OB=2，BA⊥l1于點(diǎn)A，作直線BA1∥x軸，交直線l1于點(diǎn)A1，再作B1A1⊥l1于點(diǎn)A1，交直線l2于點(diǎn)B1，作B1A2∥x軸，交直線l1于點(diǎn)A2，再作B2A2⊥l2于點(diǎn)B2，作B2A3∥x軸交l1于點(diǎn)A3…按此作法繼續(xù)作下去，則An的坐標(biāo)為
 
．

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