Question

如圖，平面直角坐標系中，B（-4，0），C（1，0），以BC為直徑作⊙M，交y軸正半軸于點A，過A、B、C三點作拋物線．
（1）求點A的坐標；
（2）求拋物線解析式；
（3）P（x，y）為拋物線上一動點，若∠BPC為銳角，寫出x的取值范圍；
（4）記E為拋物線的頂點，動點F從點E出發(fā)，沿線段EM以速度v₁運動到點Q后，再以速度v₂沿直線向點C運動，若v₁：v₂=

41

：4，要使點F從點E到點C的用時最短，試確定點Q的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）A點首先在圓上，同時又在拋物線上，由（2）的目標是求拋物線解析式，所以本問肯定要運用圓的知識，連接AM，△AMO即為直角三角形，且AM，MO長易知，所以AO易知，A坐標易得．
（2）由A，B，C三點坐標已知，則拋物線用待定系數(shù)法求解即可，但注意B、C為拋物線與x軸的兩個交點，使用y=a（x+4）（x-1）計算較簡單．
（3）用時最短在初看本題并不好理解，把問題搞清楚是我們解決問題的第一要務(wù)，所以可以任在EM上找一點Q，然后過Q作BE的垂線簡單計算了解題目想要真正傳達我們的信息．計算三角形EBM時發(fā)現(xiàn)其邊長中含有

41

，且進一步發(fā)現(xiàn)在Rt△EQN中，

EQ

NQ

=

41

4

，即EQ=

41

4

NQ．而v₁=

41

4

v₂，而t=

EQ

v1

+

CQ

v2

=

41 4 NQ

41 4 v2

+

QC

v2

=

NQ+QC

v2

，即當(dāng)NQ+QC最短時，t最�。�此時問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短的問題，結(jié)論易得．

解答：解：（1）如圖1，連接AM．
∵B（-4，0），C（1，0），
∴BC=5，
∴AM=BM=CM=

5

2

，
∴OM=CM-OC=

3

2

，
∴根據(jù)勾股定理，AO=

AM2-OM2

=2，
∴A點坐標為（0，2）．

（2）∵拋物線過B（-4，0），C（1，0），
∴設(shè)拋物線為y=a（x+4）（x-1），
∴拋物線過A（0，2），
∴將A（0，2）代入y=a（x+4）（x-1），解得a=-

1

2

，
∴拋物線為y=-

1

2

（x+4）（x-1）=-

1

2

x2-

3

2

x+2．

（3）如圖2，記拋物線與圓的另一個交點為D，易得D點坐標為（-3，2），
∵當(dāng)P點在B左邊，DA之間，C右邊時，∠BPC為銳角，
∴當(dāng)x＜-4或-3＜x＜0或x＞1時，∠BPC為銳角．

（4）如圖3，連接BE，過點Q，作QN⊥BE，
∵拋物線為y=-

1

2

x2-

3

2

x+2，
∴根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，頂點E坐標為（-

3

2

，

25

8

）．
∵M（-

3

2

，0），B（-4，0），
∴EM=

25

8

．
在Rt△EBM中，
∵BM=

5

2

，
∴BE=

5

8

41

，
∴sin∠BEM=

BM

BE

=

4

41

，
∴在Rt△EQN中，

EQ

NQ

=

41

4

，即EQ=

41

4

NQ．
∵v₁：v₂=

41

：4
∴v₁=

41

4

v₂，
∴t=

EQ

v1

+

CQ

v2

=

41 4 NQ

41 4 v2

+

QC

v2

=

NQ+QC

v2

，
∴當(dāng)NQ+QC最短時，t最�。�
如圖4，記BE與⊙M交點為N，連接CN交EM于點Q，此時NQ+QC最短，此時∠BEM=∠BCN．
∵在Rt△BEM中，tan∠BEM=

BM

EM

=

5 2

25 8

=

4

5

，
∴在Rt△QMC中，QM=MC•tan∠BCN=MC•tan∠BEM=

5

2

•

4

5

=2，
∴Q點坐標為（-

3

2

，2）．

點評：本題主要考察了圓的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式、解直角三角形及利用垂線段最短求解最值等問題．前兩問是非常常規(guī)的題目，最后一問在初看本題并不好理解，所以要首先任在EM上找一點Q，然后過Q作BE的垂線簡單計算以了解題目想要真正傳達我們的信息．