Question

如圖，在△AOB中，∠OAB=90°，OA=AB，點B的坐標(biāo)為（-4，0），過點C（4，0）作直線l交AB于P，交AO于Q，以P為頂點的拋物線經(jīng)過點A，當(dāng)△APQ和△COQ的面積相等時，則拋物線解析式為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：過P點作PE⊥BC于點E，過A點作AF⊥BO于點F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得A（-2，2），再根據(jù)△APQ和△COQ的面積相等可得P點縱坐標(biāo)為1．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式，從而得到P點坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的頂點式，根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線解析式．

解答：解：過P點作PE⊥BC于點E，過A點作AF⊥BO于點F．
∵B（-4，0），C（4，0），
∴BC=4-（-4）=8．
∵OA=AB，AF⊥BO于點F，
∴F為OB中點，
∵∠OAB=90°，
∴AF=

1

2

OB=2，
∴A（-2，2），
∴S_△ABO=

1

2

BO•AF=

1

2

×4×2=4．
∵S_△ABO=S_△APQ+S_{四邊形PQBO}，S_△APQ=S_△COQ，
∴S_△ABO=S_△COQ+S_{四邊形PQBO}=S_△BCP=4．
∵S_△BCP=

1

2

BC•PE=

1

2

×8•PE=4PE=4，
∴PE=1，即P點縱坐標(biāo)為1．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（-2，2），B（-4，0），
∴

-2k+b=2 -4k+b=0

，
解得

k=1 b=4

，
∴y=x+4，
當(dāng)y=1時，x+4=1，
解得x=-3，
∴P（-3，1）．
設(shè)所求拋物線的解析式為y=a（x+3）²+1，
將A（-2，2）代入，得a（-2+3）²+1=2，
解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+3）²+1，即y=x²+6x+10．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積計算，待定系數(shù)法求直線的解析式，拋物線的頂點式，以及待定系數(shù)法求拋物線解析式，綜合性較強(qiáng)，難度中等．