Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，∠APC=90°，若AB=10，PD=6

5

，則∠PAD的正切值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：如圖，延長PA至E，使得AE=PC，作DH⊥EP，利用SAS證明△EAD≌△PCD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到DE=DP，∠EDA=∠PDC，利用等式的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)得到∠EDP為直角，確定出△EDP為等腰直角三角形，進(jìn)而得到三角形HDP為等腰直角三角形，根據(jù)DP的長求出DH的長，在直角三角形ADH中，利用勾股定理求出AH的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠PAD的值即可．

解答：解：如圖，延長PA至E，使得AE=PC，作DH⊥EP，
∵∠APC=∠ADC=90°，
∴A，P，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠DAP+∠DCP=180°，
∵∠DAP+∠DAE=180°，
∴∠DCP=∠DAE，
在△EAD和△PCD中，

AE=CP ∠EAD=∠PCD AD=CD

，
∴△EAD≌△PCD（SAS），
∴DE=DP，∠EDA=∠PDC，
∵∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠EDA+∠ADP=90°，即∠EDP=90°，
∴△EDP為等腰直角三角形，
∴∠DPH=45°，即△DHP為等腰直角三角形，
∴DH=

2

2

DP=3

10

，
在Rt△ADH中，AD=10，DH=3

10

，
根據(jù)勾股定理得：AH=

102-(3 10 )2

=

10

，
∴tan∠PAD=

DH

AH

=

3 10

10

=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．