Question

把平面直角坐標系中的一些點分成兩組，使得兩組點各自滿足某種函數關系，若點P同時滿足這兩種函數關系，則稱點P是這兩種函數的“交集點”．
（1）已知點A（0，0），B（2，-4），C（-1，1），D（3，1），若把點A和點B歸為第一組，點C和點D歸為第二組，請求出其中的兩個“交集點”；
（2）對于任意的實數 m，n，是否存在某種分組方法，使得不同點E（4，4+m），F（0，

1

2

n），G（2，2+

1

2

n），H（0，4+m），I（3，1+m）有“交集點”？若存在，請求出m與n的關系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）分別將兩點看成直線和拋物線后利用待定系數法確定其解析式，然后求得其交點坐標即可求得其交集點；
（2）分別把E、F、G歸為一組，看成直線和把H、I看成直線求得其解析式后即可確定是否存在交集點了．

解答：解：（1）第一組：A、B看成直線，
設y=kx+b（k≠0），把（0，0），（2，-4）代入
得 

b=0 2k+b=-4

解得

k=-2 b=0

∴y=-2x；
第二組：若C、D看成拋物線
由（-1，1），（3，1）可得對稱軸為直線x=1
設y=a（x-1）²+k把（-1，1）代入
得4a+k=1，
∴k=1-4a，
∴y=a（x-1）²+1-4a
不妨設a為1，則y=（x-1）²-3，
求y=（x-1）²-3與y=-2x的交點
 

y=(x-1)2-3 y=-2x

 解得

x1= 2 y1=-2 2

，

x2=- 2 y2=2 2

   
∴這種分組的“交集點”p（

2

，-2

2

）或（-

2

，2

2

）；

（2）存在；
第一組：把E、F、G歸為一組，看成直線
設y=kx+b（k≠0），把（0，

1

2

n）（2，2+

1

2

n）代入
得

b= 1 2 n 2k+b=2+ 1 2 n

，解得

k=1 b= 1 2 n

∴y=x+

1

2

n，
因為E（4，4+m）在該直線上，代入得：n=2m
∴y=x+m；                                     

第二組：把H、I看成直線
設y=px+q（p≠0），把（3，1+m）（0，4+m）代入
得：

1+m=3p+q 4+m=q

，解得：

p=-1 q=4+m

，
∴y=-x+4+m，
求y=x+m與y=-x+4+m的交點

y=x+m y=-x+4+m

解得

x1=2 y1=2+m

，
∴交集點為（2，2+m）                          
∴當n=2m時，這種分組的“交集點”存在．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，重點考查了待定系數法，對于新定義“交集點”的理解是解答本題的關鍵，難度一般．