Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x＋4經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P．

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖2，過(guò)點(diǎn)O，P的直線y＝kx交AC于點(diǎn)E，若PE∶OE＝3∶8，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②或

【解析】

（1）由直線的解析式y＝x＋4易求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，把A和C的坐標(biāo)分別代入y＝x2＋bx＋c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；

（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由（1）中的拋物線解析式，進(jìn)而可求出其縱坐標(biāo)，問(wèn)題得解；

②過(guò)P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，因?yàn)?/span>PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長(zhǎng)，進(jìn)而可設(shè)點(diǎn)點(diǎn)F（x，x＋4），利用(x2x＋4)(x＋4)＝，可求出x的值，解方程求出x的值可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入直線y＝kx即可求出k的值．

解：(1)∵直線y＝x＋4經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，

∴A(－4，0)，C(0，4)．

又∵拋物線過(guò)A，C兩點(diǎn)，

∴解得，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－x＋4．

(2)①∵y＝－x2－x＋4，

∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝－1．

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，PQ＝AO＝4

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱．

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－3，

∴當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝－×(－3)2－(－3)＋4＝

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(－3，)．

②過(guò)點(diǎn)P作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC

∴＝

又∵＝，OC＝4，

∴PF＝

設(shè)點(diǎn)F(x，x＋4)，

∴P(x，－x2－x＋4)

∴(－x2－x＋4)－(x＋4)＝

解得x1＝－1，x2＝－3

∴P點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，)或(－3，)．

又∵點(diǎn)P在直線y＝kx上，

∴k＝－或k＝－．